Pendule simple : un écart de 3 % qui n'est pas dû au chronométrage
Au laboratoire du lycée de Bertoua, quatre élèves mesurent g avec un pendule simple. Ils suspendent une bille métallique de rayon r = 2,0 cm à un fil inextensible et mesurent la longueur L à la règle, du point de fixation jusqu'au sommet de la bille. Pour chaque L, ils chronomètrent 20 oscillations et divisent par 20 : L = 0,40 m → T = 1,30 s ; L = 0,60 m → T = 1,58 s ; L = 0,80 m → T = 1,82 s ; L = 1,00 m → T = 2,03 s. En appliquant g = 4π²L/T² ligne par ligne, ils obtiennent des valeurs qui montent régulièrement de 9,34 à 9,58 m/s², de moyenne 9,49 m/s². Ils concluent que g vaut 9,49 m/s² dans la région et attribuent l'écart avec 9,81 m/s² aux frottements et au temps de réaction. Le professeur refuse de valider le compte rendu : il exige qu'ils testent d'abord une autre hypothèse, puis qu'ils proposent un protocole corrigé.
1. Calculer g avec la formule utilisée pour chaque ligne et décrire l'évolution obtenue. En quoi cette évolution est-elle déjà un indice sur la nature de l'erreur ?
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Calculs (4π² ≈ 39,478).
| L (m) | T (s) | T² (s²) | g = 4π²L/T² (m/s²) |
|---|---|---|---|
| 0,40 | 1,30 | 1,690 | 9,34 |
| 0,60 | 1,58 | 2,496 | 9,49 |
| 0,80 | 1,82 | 3,312 | 9,54 |
| 1,00 | 2,03 | 4,121 | 9,58 |
Moyenne : 9,49 m/s², avec une amplitude de variation de 0,24 m/s².
Interprétation. Si la seule cause d'erreur était aléatoire (réaction au chronomètre, lecture de la règle, amplitude mal contrôlée), les quatre valeurs de g fluctueraient autour d'une même moyenne, sans tendance liée à L. Or elles augmentent de façon monotone et régulière : l'écart est systématique et corrélé à L. Cela oriente vers une erreur sur la grandeur L elle-même, et non vers une erreur sur la durée. Le raisonnement à tenir est donc : la forme du graphe g(L) renseigne sur la source de l'erreur, avant même tout calcul d'incertitude.
2. Tester quantitativement l'hypothèse du rayon (L mesurée jusqu'au sommet, alors que le pendule a pour longueur L + r) et celle d'un retard constant de 0,05 s au chronométrage. Laquelle rend compte des données ?
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Hypothèse du rayon. La longueur effective est L + 0,02 m. On recalcule :
| L + 0,02 (m) | T² (s²) | g (m/s²) |
|---|---|---|
| 0,42 | 1,690 | 9,81 |
| 0,62 | 2,496 | 9,81 |
| 0,82 | 3,312 | 9,77 |
| 1,02 | 4,121 | 9,77 |
Les valeurs deviennent quasi constantes (moyenne 9,79, dispersion 0,04 au lieu de 0,24) et compatibles avec 9,81 aux incertitudes de lecture près. Mieux : le modèle prévoit g_apparent = 9,81 × L/(L + 0,02), soit 9,34 ; 9,49 ; 9,57 ; 9,62, ce qui reproduit exactement la tendance observée. La correction est donc cohérente.
Hypothèse du temps de réaction. Un retard de 0,05 s sur le chronométrage de 20 oscillations ne fausse chaque période que de 0,05/20 = 0,0025 s, soit 0,2 % sur T et 0,4 % sur g : c'est négligeable devant les 3 % observés. Même en supposant à tort un retard de 0,05 s par oscillation, on trouverait g = 8,66 ; 8,92 ; 9,03 ; 9,13 m/s², valeurs très basses et dispersées sur 0,47 m/s².
Conclusion. Le chronométrage n'explique pas l'écart ; l'oubli du rayon de la bille, qui décale la longueur d'une quantité fixe, en rend compte quantitativement. C'est la conclusion que le professeur attend.
3. Proposer un protocole corrigé et exploiter T² en fonction de L. Quel avantage présente la régression par rapport au calcul ligne par ligne ?
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Protocole. Mesurer le diamètre de la bille au pied à coulisse et prendre L du point de fixation au centre de la bille (ou ajouter r à la lecture). Chronométrer 20 oscillations, répéter trois fois, garder une amplitude inférieure à 15° pour rester dans le domaine de validité de T = 2π√(L/g), et balayer cinq ou six longueurs entre 0,40 et 1,00 m.
Exploitation graphique. Avec les données fournies, la régression de T² en fonction de L donne une pente de 4,055 s²/m et une ordonnée à l'origine de 0,066 s². La théorie s'écrit T² = (4π²/g)(L + r) : la pente vaut 4π²/g, donc g = 39,478/4,055 ≈ 9,74 m/s², et l'ordonnée à l'origine vaut (4π²/g) r, d'où r ≈ 0,066/4,055 ≈ 1,6 cm, du même ordre que le rayon réel de 2 cm (écart attribuable à l'arrondi des durées au centième).
Avantage. Le calcul ligne par ligne est très sensible à une erreur additive sur L, car il utilise L directement. La pente, elle, est insensible à un décalage constant de L : elle donne g correct même si l'origine de la longueur est mal repérée, et l'ordonnée à l'origine permet même d'estimer le décalage. C'est un argument de méthode à retenir : choisir une exploitation qui élimine l'erreur systématique identifiée, plutôt que de corriger les valeurs une à une.