Mathématiques - série C
La mathématique est la discipline reine de la série C : l'épreuve écrite, composée le plus souvent de trois ou quatre exercices indépendants suivis d'un problème, vérifie la maîtrise du calcul, la rigueur du raisonnement et la capacité à rédiger une démonstration. Les exercices portent sur les chapitres du programme de terminale C ; le problème enchaîne fréquemment étude de fonction, suite et calcul intégral.
Les blocs de contenu à maîtriser
- Analyse : limites, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivation, logarithme népérien et exponentielle, primitives, intégration par parties, équations différentielles y′ = ay + b et y″ + ω²y = 0.
- Nombres complexes : forme algébrique, module, argument, forme exponentielle, équations du second degré à coefficients réels ou complexes, racines n-ièmes.
- Suites : suites arithmétiques et géométriques, suites récurrentes, suites arithmético-géométriques, raisonnement par récurrence.
- Géométrie de l'espace : produit scalaire et produit vectoriel, équations de plans et de droites, sphères.
- Probabilités et arithmétique : dénombrement, probabilité conditionnelle, indépendance, variable aléatoire, loi binomiale ; divisibilité, congruences, théorème de Gauss.
Réflexes de rédaction
Toute affirmation doit être justifiée par un théorème nommé. On écrit l'ensemble de définition avant de dériver ou de calculer une limite. Une récurrence se rédige en trois temps explicites : initialisation, hérédité, conclusion.
Exemple rédigé
Résoudre dans ℂ : z² − 2z + 4 = 0. Le discriminant vaut Δ = 4 − 16 = −12 = (2i√3)². Les racines sont donc z = (2 ± 2i√3)/2 = 1 ± i√3. Pour la forme exponentielle de z = 1 + i√3 : |z| = √(1 + 3) = 2, cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2, d'où θ = π/3 et z = 2e^(iπ/3). On en déduit z⁶ = 2⁶ · e^(i6π/3) = 64 e^(2iπ) = 64, résultat vérifiable en calculant (1 + i√3)³ = −8 puis en élevant au carré.
Pièges qui coûtent des points
- Confondre module et argument, ou oublier le double signe ± devant les racines complexes.
- Écrire ln(ab) = ln a + ln b sans vérifier que a et b sont strictement positifs.
- Fausser le signe dans l'intégration par parties (−∫v du).
- Chercher une solution particulière de même forme que le second membre alors que celui-ci est déjà solution de l'équation homogène : il faut alors multiplier par x.
- Utiliser P(A∩B) = P(A)P(B) sans avoir établi l'indépendance.