Console de levage : choix du profilé et flèche admissible
Un atelier de mécanique de Douala installe une console de levage destinée à un palan manuel. La console est un profilé IPE 160 encastré dans un poteau métallique et sollicitée par une charge verticale de 12 kN appliquée à 1,60 m de l'encastrement (charge supposée permanente, palan et élingue compris). Caractéristiques du profilé : I = 869 cm⁴, W = 109 cm³, masse linéique 15,8 kg/m. Acier S235, limite d'élasticité 235 MPa, module d'Young 210 GPa. Le cahier des charges impose un coefficient de sécurité de 2 sur la limite d'élasticité et une flèche maximale en bout égale à L/300. Le soudeur propose de renforcer localement l'encastrement par un gousset ; l'exploitant, lui, souhaite remplacer le palan par un treuil de 15 kN et raccourcir la console à 1,20 m. Le chef d'atelier doit trancher avant la mise en service, sachant que la console n'est pas maintenue latéralement en bout et que le poteau support existe déjà.
1. Déterminer les réactions d'encastrement, donner l'allure du moment fléchissant et vérifier la contrainte normale maximale dans l'IPE 160, poids propre inclus. Conclure sur l'acceptabilité du profilé.
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Réactions (en A, encastrement) : R_A = F + qL = 12 000 + 0,155×1 600 ≈ 12 250 N vers le haut. M_A = F·L + q·L²/2 = 12 000×1 600 + 0,155×1 600²/2 = 19,2×10⁶ + 0,20×10⁶ ≈ 19,4×10⁶ N·mm. Le moment est maximal à l'encastrement puis décroît jusqu'à zéro en bout (linéaire pour la charge concentrée, parabolique avec le poids propre). Contrainte : σ = M/W = 19,4×10⁶/109 000 = 178 MPa. Critère : σ_adm = 235/2 = 117,5 MPa. 178 > 117,5 : l'IPE 160 est refusé, le coefficient réel n'est que 235/178 = 1,32. Le cisaillement d'âme est négligeable (τ ≈ 12 250/640 ≈ 19 MPa) : c'est bien la flexion qui pilote le dimensionnement, et non l'effort tranchant.
2. Choisir dans la gamme IPE (160, 180, 200, 220) le profilé satisfaisant les deux critères, puis vérifier la flèche en bout.
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Résistance : il faut W ≥ M/σ_adm = 19,4×10⁶/117,5 = 165×10³ mm³ = 165 cm³. L'IPE 180 (W = 146 cm³) est insuffisant ; l'IPE 200 convient (W = 194 cm³, I = 1 943 cm⁴, m = 22,4 kg/m). Vérification : M = 19,2×10⁶ + 0,22×1 600²/2 = 19,48×10⁶ N·mm → σ = 19,48×10⁶/194 000 = 100 MPa, soit s = 2,35 > 2 ✔. Flèche : f = F·L³/(3EI) = 12 000×1 600³/(3×210 000×1,943×10⁷) = 4,02 mm. Poids propre : q·L⁴/(8EI) = 0,22×1 600⁴/(8×210 000×1,943×10⁷) = 0,04 mm. Total 4,06 mm ; limite L/300 = 5,33 mm ✔ (marge 24 %). Conclusion : IPE 200, les deux critères sont satisfaits simultanément.
3. L'exploitant impose un treuil de 15 kN avec une portée ramenée à 1,20 m. L'IPE 200 convient-il encore ? Discuter ensuite le risque de déversement latéral et proposer une solution constructive.
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Nouvelle charge : M = 15 000×1 200 + 0,22×1 200²/2 = 18,0×10⁶ + 0,16×10⁶ = 18,16×10⁶ N·mm → σ = 18,16×10⁶/194 000 = 93,6 MPa, s = 2,51 ✔. Flèche : 15 000×1 200³/(3×210 000×1,943×10⁷) = 2,12 mm ≤ 1 200/300 = 4 mm ✔. En résistance et en flèche, l'IPE 200 reste donc acceptable : la portée plus courte compense largement la charge plus forte. Point critique : le déversement. La semelle supérieure est comprimée et le bout libre n'est pas maintenu ; sur 1,2 m, la résistance au flambement latéral d'un IPE 200 n'est plus garantie, surtout avec une élingue non verticale. Solutions : contreventer le bout libre par un tirant diagonal vers le poteau, ou passer en HEA 160/180, et faire vérifier la soudure d'encastrement. Une note de calcul au déversement est exigée avant mise en service.