Mathématiques appliquées et sciences de l’ingénieur
Le domaine « Mathématiques appliquées et sciences de l’ingénieur » fournit les outils de calcul utilisés en mécanique : trigonométrie, vecteurs, géométrie, dérivées et intégrales. Les questions sont souvent intégrées à un problème de statique, de cinématique ou de dimensionnement.
Outils essentiels
- Trigonométrie : sin²θ + cos²θ = 1 ; dans un triangle rectangle, cosθ = adjacent/hypoténuse, tanθ = opposé/adjacent.
- Vecteur : composantes Fx = F·cosθ, Fy = F·sinθ ; norme F = √(Fx² + Fy²).
- Produit scalaire : A·B = AxBx + AyBy = A·B·cosθ ; produit vectoriel : moment M = r×F.
- Dérivée : vitesse v = dx/dt, accélération a = dv/dt ; intégrale : déplacement = aire sous la courbe v(t).
Géométrie et calcul appliqué
- Aire d’un cercle : πr² ; volume d’un cylindre : πr²h ; moment quadratique d’un rectangle : bh³/12.
- Les angles doivent être en radians dans les dérivées et les calculs de longueur d’arc ; en degrés pour la lecture d’un rapporteur.
- Une somme vectorielle se fait par composantes, jamais par addition des normes si les directions diffèrent.
Exemple travaillé
Une force F = 500 N fait un angle de 30° avec l’axe horizontal. Fx = 500·cos30° ≈ 433 N ; Fy = 500·sin30° = 250 N. La force est appliquée au point A de coordonnées (0,2 m ; 0) par rapport à O. Le moment autour de O vaut M_z = x·Fy − y·Fx = 0,2×250 − 0 = 50 N·m. Le signe positif indique un sens antihoraire dans le repère choisi. Si le bras était vertical, le moment changerait de valeur et de signe.
Pièges qui coûtent des points
- Calculer un moment avec la norme de F sans bras de levier.
- Mélanger degrés et radians dans une dérivée.
- Additionner directement des vecteurs non colinéaires.
- Oublier le signe du moment selon le repère.
- Arrondir trop tôt et fausser le résultat final.
À retenir
En sciences de l’ingénieur, un calcul vectoriel se justifie par un schéma et se contrôle par les unités.