Mathématiques - analyse, statistiques et géométrie appliquée en Série F4
Ce que l'épreuve évalue
L'épreuve de mathématiques de la Série F4 porte sur l'analyse (limites, dérivées, étude de fonctions, calcul intégral), les statistiques et probabilités, et la géométrie appliquée au bâtiment. Les exercices sont souvent contextualisés : évolution d'un coût de chantier, rendement d'une équipe, calcul de surface ou de volume d'un élément d'ouvrage.
Dérivation et sens de variation
- f'(x) représente le coefficient directeur de la tangente et le sens de variation de f.
- f'(x) > 0 sur un intervalle ⇒ f est croissante ; f'(x) < 0 ⇒ f est décroissante ; f'(x) = 0 avec changement de signe ⇒ extremum local.
- Équation de la tangente au point d'abscisse a : y = f'(a)(x − a) + f(a).
Calcul intégral et statistiques
- L'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b vaut ∫(de a à b) f(x)dx = F(b) − F(a), où F est une primitive de f.
- Une portion située sous l'axe des abscisses donne une intégrale négative : pour une aire géométrique, on prend la valeur absolue.
- Moyenne x̄, écart-type σ, médiane ; la droite d'ajustement des moindres carrés s'écrit y = ax + b.
- Probabilité d'un événement contraire : P(Ā) = 1 − P(A) ; pour deux événements, P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B).
Exemple rédigé
Soit f(x) = x³ − 3x sur l'intervalle [−2 ; 2]. On calcule f'(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). La dérivée s'annule en −1 et 1, est positive sur [−2 ; −1] et sur [1 ; 2], négative entre les deux. Donc f croît, puis décroît, puis croît : f(−1) = 2 est un maximum local et f(1) = −2 un minimum local. La tangente au point d'abscisse 2 s'écrit f'(2) = 9 et f(2) = 2, soit y = 9(x − 2) + 2 = 9x − 16. Pour l'aire entre la courbe et l'axe des x sur [0 ; 1], on intègre : F(x) = x⁴/4 − 3x²/2, d'où F(1) − F(0) = 0,25 − 1,5 = −1,25 ; l'aire vaut donc 1,25 unité d'aire.
Pièges qui coûtent des points
- Tracer la courbe sans avoir étudié les limites ni le domaine de définition.
- Confondre extremum local et valeur maximale sur l'intervalle : il faut comparer avec les valeurs aux bornes, f(−2) et f(2).
- Écrire l'équation de la tangente en oubliant f(a).
- Annoncer une aire négative ou omettre l'unité d'aire.
- Dans les statistiques, présenter la variance alors que l'écart-type est demandé, ou oublier de pondérer par les effectifs.