Dos esquemas de compra para la cosecha: comparar funciones y decidir con incertidumbre
A 40 familias productoras de café del Huila les ofrecen dos esquemas de compra para la cosecha, que este año no superará los 900 kg en total. El esquema A paga un anticipo fijo de $3.200.000 por el lote completo y, además, $8.500 por cada kilogramo entregado. El esquema B no ofrece anticipo, paga $12.000 por kilogramo y descuenta $250.000 por transporte y trilla. La asamblea debe firmar antes de la cosecha, cuando todavía no se conoce el volumen exacto, y un dirigente afirma: «Con B ganamos más en cuanto pasemos los 500 kg; por eso debemos firmar con B». La tesorera pide comparar los dos esquemas como funciones del volumen entregado, verificar la afirmación del dirigente y decidir qué conviene si finalmente se cosecharan 1.800 kg, escenario que algunos consideran posible si se suma otra finca.
1. Escriba los dos esquemas como funciones del volumen entregado x y determine para qué volumen se igualan. Interprete ese valor en el contexto.
Read the worked answer
Con x en kilogramos y el pago en pesos:
- Esquema A: A(x) = 3.200.000 + 8.500x
- Esquema B: B(x) = 12.000x − 250.000
Igualando: 3.200.000 + 8.500x = 12.000x − 250.000 → 3.450.000 = 3.500x → x ≈ 985,7 kg.
Interpretación: por debajo de ese volumen paga más el esquema A; por encima, paga más el B. El valor de cruce cae fuera del rango posible de esta cosecha (0 a 900 kg), así que dentro de lo que se puede producir este año el esquema A siempre supera al B. Comprobación en el extremo: A(900) = 3.200.000 + 7.650.000 = $10.850.000, mientras que B(900) = 10.800.000 − 250.000 = $10.550.000.
El error típico aquí es comparar solo los precios por kilogramo (12.000 frente a 8.500) y olvidar el anticipo fijo y el descuento; el anticipo es lo que hace que A domine en todo el intervalo.
2. Evalúe la afirmación del dirigente: «Con B ganamos más en cuanto pasemos los 500 kg».
Read the worked answer
Es falsa. En x = 500:
- A(500) = 3.200.000 + 4.250.000 = $7.450.000
- B(500) = 6.000.000 − 250.000 = $5.750.000
El esquema A paga $1.700.000 más. El punto de cruce está en 985,7 kg, no en 500 kg, y como la cosecha no supera los 900 kg, la condición que el dirigente anuncia nunca se cumple en este ciclo.
Vale la pena notar el patrón del error: el dirigente razona con la tasa de crecimiento (12.000 frente a 8.500 por kg) e ignora el término constante. En modelos lineales, comparar pendientes solo decide el resultado a largo plazo; a corto plazo manda el intercepto. Para saber cuál conviene hay que resolver la desigualdad completa, no mirar el precio unitario.
Consecuencia práctica: si la asamblea firma B guiándose por esa frase, cada familia pierde dinero en cualquiera de los volúmenes que realmente puede producir.
3. Si la cosecha llegara a 1.800 kg, ¿cambia la recomendación? ¿Qué implica para la decisión que debe tomarse antes de conocer el volumen?
Read the worked answer
Sí cambia. Con x = 1.800:
- A(1.800) = 3.200.000 + 15.300.000 = $18.500.000
- B(1.800) = 21.600.000 − 250.000 = $21.350.000
Ahora B paga $2.850.000 más, porque 1.800 kg está por encima del cruce de 985,7 kg. La recomendación es condicional: A si el volumen es menor que ~986 kg, B si es mayor.
El problema real es que la asamblea decide antes de conocer x. Firmar A asegura el anticipo y protege el escenario de cosecha baja, que es el más probable según el dato de partida (máximo 900 kg), pero renuncia a la ganancia del escenario alto. Firmar B apuesta por el volumen que aún no existe.
Rutas razonables: negociar con el comprador un contrato por tramos, incluir una cláusula que reajuste el precio si el volumen supera cierto umbral, o firmar A y reservar por escrito la posibilidad de vender el excedente de la otra finca en condiciones aparte. Lo que no es defendible es firmar B basándose en una proyección de 1.800 kg sin ninguna garantía de que esa cosecha se realice.