Optimización de una cerca con pared y divisoria
En el huerto escolar se dispone de 80 m de malla metálica para cercar un terreno rectangular apoyado en una pared larga. La pared sustituye uno de los lados mayores, de modo que solo hay que cercar los dos lados perpendiculares a la pared y el lado paralelo. Además, se quiere dividir el terreno en dos parcelas iguales con una cerca interior paralela a la pared, que también se construye con la misma malla. No se cuenta con material adicional y no se permiten desperdicios: toda la malla debe usarse. El director pide saber si con esas condiciones se pueden obtener al menos 350 m² de cultivo y cuáles serían las dimensiones más convenientes. Un estudiante propone usar 25 m en cada lado perpendicular y 15 m en cada lado paralelo, pero no justifica el reparto de la malla. Antes de aprobar el diseño, el comité necesita un análisis matemático de la situación y de una alternativa con área mínima exigida.
1. Define las variables, plantea la restricción de malla y la función de área, y determina las dimensiones que maximizan el área. ¿Cuál es el área máxima?
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Sea x la longitud de cada lado perpendicular a la pared y sea y la longitud de cada lado paralelo a la pared. Hay dos lados perpendiculares y dos cercas paralelas: la exterior y la divisoria. Por tanto, la malla se reparte así:
2x + 2y = 80, de donde y = 40 − x.
El área total es A(x) = x(40 − x) = 40x − x². Es una parábola que abre hacia abajo, así que su máximo está en el vértice:
x = −40 / (2·(−1)) = 20.
Entonces y = 40 − 20 = 20 y A = 20·20 = 400 m². Las dimensiones óptimas son 20 m en cada lado perpendicular y 20 m en cada lado paralelo, con un área máxima de 400 m². Se cumple x > 0, y > 0.
2. Evalúa la propuesta del estudiante de usar 25 m en cada lado perpendicular y 15 m en cada lado paralelo. ¿Cumple la malla disponible? ¿Supera los 350 m²? ¿Es óptima?
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Con x = 25 m y y = 15 m, la malla usada es:
2(25) + 2(15) = 50 + 30 = 80 m.
Sí cumple exactamente la restricción de malla. El área propuesta es 25·15 = 375 m², que supera los 350 m² exigidos. Sin embargo, no es óptima: el área máxima posible es 400 m² y se alcanza con 20 m y 20 m. La propuesta es válida y factible, pero deja 25 m² por debajo del máximo.
3. Halla el intervalo de valores de x, lado perpendicular, para que el área sea al menos 350 m², e interpreta el resultado en términos de las dimensiones posibles.
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Se necesita x(40 − x) ≥ 350. Al ordenar:
x² − 40x + 350 ≤ 0.
Las raíces de la ecuación son:
x = [40 ± √(1600 − 1400)] / 2 = [40 ± √200] / 2 = 20 ± 5√2.
Como √2 ≈ 1,414, las raíces valen aproximadamente 12,93 y 27,07. La parábola abre hacia arriba, por lo que la desigualdad se cumple entre las raíces:
x ∈ [20 − 5√2, 20 + 5√2] ≈ [12,93; 27,07].
Como y = 40 − x, el otro lado queda en el mismo intervalo. Así, se obtienen al menos 350 m² cuando las dimensiones están entre unos 12,93 m y 27,07 m, con la suma x + y = 40 m.