Cuba University Entrance Math Exam flashcards

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Discriminante de una cuadrática

Es Δ = b²−4ac en ax²+bx+c=0. Si Δ>0 hay dos raíces reales distintas, si Δ=0 una raíz doble y si Δ<0 no existen raíces reales.

Relaciones de Vieta

Para ax²+bx+c=0 con raíces x₁ y x₂ se cumple x₁+x₂=−b/a y x₁·x₂=c/a. Sirven para construir ecuaciones o hallar expresiones simétricas sin resolver.

Diferencia de cuadrados

La identidad a²−b²=(a+b)(a−b) factoriza diferencias de cuadrados y también racionaliza denominadores como 1/(√a−√b) multiplicando por el conjugado.

Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio ax²+bx+c es cuadrado perfecto si b²=4ac; entonces se escribe como a(x+b/(2a))², lo que permite completar el cuadrado y hallar el vértice.

Cambio de base en logaritmos

logₐb = log_c b / log_c a para cualquier base c válida. Con logaritmos naturales queda logₐb = ln b / ln a, útil cuando la calculadora solo ofrece ln o log₁₀.

Propiedad del logaritmo de potencia

logₐ(xⁿ)=n·logₐx permite bajar exponentes y resolver ecuaciones exponenciales como 2ˣ=5, que se transforma en x=log₂5=ln5/ln2.

Dominio de una función logarítmica

En logₐ(f(x)) se exige f(x)>0, a>0 y a≠1. En logaritmos de polinomios el dominio se obtiene resolviendo la inecuación f(x)>0.

Término n-ésimo aritmético

En una progresión aritmética aₙ=a₁+(n−1)d, donde d es la diferencia constante. La suma de los n primeros términos es Sₙ=n(a₁+aₙ)/2.

Suma de progresión geométrica

Sₙ=a₁(rⁿ−1)/(r−1) si r≠1. Si |r|<1 la suma infinita converge a a₁/(1−r); si |r|≥1 la serie no converge.

Identidad pitagórica trigonométrica

sen²x+cos²x=1 para todo ángulo real. De ella derivan 1+tan²x=sec²x y 1+cot²x=csc²x, bases para simplificar expresiones trigonométricas.

Fórmula del ángulo doble

sen2x=2senx·cosx y cos2x=cos²x−sen²x=1−2sen²x=2cos²x−1. Se usan para reducir potencias e integrar o resolver ecuaciones trigonométricas.

Ley del coseno

En un triángulo cualquiera a²=b²+c²−2bc·cosA. Generaliza el teorema de Pitágoras y permite hallar un lado conociendo dos lados y el ángulo comprendido.

Ley del seno

a/senA=b/senB=c/senC=2R, con R el radio de la circunferencia circunscrita. Resuelve triángulos con un lado y dos ángulos conocidos.

Área de un triángulo

Área=(1/2)·b·c·senA, usando dos lados y el ángulo comprendido. También equivale a √[s(s−a)(s−b)(s−c)] con s el semiperímetro.

Pendiente entre dos puntos

m=(y₂−y₁)/(x₂−x₁) para x₂≠x₁. Recta horizontal tiene m=0; vertical, pendiente indefinida. Rectas paralelas tienen igual pendiente.

Rectas perpendiculares

Dos rectas no verticales son perpendiculares si m₁·m₂=−1, es decir, sus pendientes son recíprocas negativas. Una vertical es perpendicular a una horizontal.

Ecuación de la circunferencia

(x−h)²+(y−k)²=r² describe la circunferencia de centro (h,k) y radio r. Desarrollada, x²+y²+Dx+Ey+F=0, el centro es (−D/2,−E/2).

Distancia entre dos puntos

d=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²], aplicación directa del teorema de Pitágoras en el plano cartesiano. El punto medio es ((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2).

Derivada de una potencia

Si f(x)=xⁿ entonces f′(x)=n·xⁿ⁻¹ para cualquier exponente real n. Casos particulares: (√x)′=1/(2√x) y (1/x)′=−1/x².

Regla del producto

Si h(x)=u(x)·v(x) entonces h′=u′v+uv′. Se aplica a productos como x²·senx y no debe confundirse con (uv)′=u′v′.

Regla del cociente

Si h(x)=u(x)/v(x) con v(x)≠0, entonces h′=(u′v−uv′)/v². El orden del numerador importa: u′v−uv′, no al revés.

Derivadas de seno y coseno

(senx)′=cosx y (cosx)′=−senx. El signo negativo del coseno es un error frecuente; combinadas con la regla de la cadena dan (sen kx)′=k·cos kx.

Regla de la cadena

Si y=f(g(x)) entonces y′=f′(g(x))·g′(x). Por ejemplo, (sen x²)′=cos(x²)·2x. Es imprescindible cuando la variable aparece dentro de otra función.

Límite notable seno sobre x

lím(x→0) senx/x = 1, con x en radianes. De ahí lím(x→0)(1−cosx)/x²=1/2 y lím(x→0) tanx/x=1.

Número e como límite

e = lím(n→∞)(1+1/n)ⁿ ≈ 2,71828. También lím(x→0)(1+x)^(1/x)=e, base para resolver indeterminaciones del tipo 1^∞.

Factorización por agrupación

Cuando un polinomio de cuatro términos comparte factores en pares, se agrupa: ax+ay+bx+by = a(x+y)+b(x+y) = (a+b)(x+y). Simplifica fracciones algebraicas.

Racionalización de denominadores

Multiplicar numerador y denominador por el conjugado elimina raíces: 1/(√a+√b) = (√a−√b)/(a−b). También se usa con expresiones como √a−√b en el numerador.

Sistema de ecuaciones lineales

Dos rectas ax+by=c y dx+ey=f: si a/d≠b/e hay solución única; si las razones son iguales pero distintas de c/f no hay solución; si coinciden, infinitas.

Valor absoluto como distancia

|x−a| es la distancia entre x y a. La inecuación |x−a|<r equivale a a−r<x<a+r; |x−a|>r da x<a−r o x>a+r.

Función cuadrática y vértice

Para f(x)=ax²+bx+c el vértice está en x=−b/(2a). Si a>0 abre hacia arriba y el vértice es mínimo; si a<0 abre hacia abajo y es máximo.

Composición de funciones

(f∘g)(x)=f(g(x)); su dominio son los x del dominio de g con g(x) en el dominio de f. La composición no es conmutativa en general.

Función inversa

f⁻¹ existe si f es inyectiva; se obtiene despejando x en y=f(x) e intercambiando variables. Las gráficas de f y f⁻¹ son simétricas respecto a y=x.