Mezcla de soluciones desinfectantes en el laboratorio
En el laboratorio de una escuela se prepara una solución desinfectante al 35 % de alcohol para una práctica. El almacén solo tiene frascos de solución al 20 % y al 50 %, y el recipiente de mezcla tiene capacidad para 12 L. El profesor necesita exactamente 12 L al 35 % y dispone de 5 L de la solución al 50 %; del resto no hay limitación. Un auxiliar afirma que basta con echar 5 L al 50 % y completar con la del 20 %, mientras que otro sostiene que así no se alcanza la concentración pedida. Antes de autorizar la práctica, hay que decidir quién tiene razón, calcular la cantidad mínima de solución al 50 % que se requeriría si no hubiera restricción y determinar la concentración máxima posible con los 5 L disponibles, suponiendo que se usan todos y se completa el volumen con la solución al 20 %. No se permite añadir agua ni desechar producto.
1. Plantea el sistema para obtener 12 L al 35 % usando soluciones al 20 % y al 50 %. ¿Cuántos litros de cada una se necesitan? ¿Es posible con los 5 L disponibles al 50 %?
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Sea x el volumen de solución al 20 % y sea y el volumen de solución al 50 %. El volumen total debe ser 12 L:
x + y = 12.
El alcohol puro aportado debe ser el 35 % de 12 L, es decir, 0,35·12 = 4,2 L. Por tanto:
0,20x + 0,50y = 4,2.
Sustituyendo x = 12 − y:
0,20(12 − y) + 0,50y = 4,2 2,4 − 0,20y + 0,50y = 4,2 0,30y = 1,8 y = 6 L, y entonces x = 6 L.
Se necesitan 6 L de solución al 50 %, pero solo hay 5 L. Por tanto, no es posible preparar exactamente 12 L al 35 % con las existencias. Tiene razón el auxiliar que dice que con 5 L no se alcanza la concentración pedida.
2. Determina la cantidad mínima de solución al 50 % que se requeriría si no existiera la restricción de 5 L.
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La cantidad mínima es la que exige exactamente la concentración del 35 %. Del sistema anterior se obtiene y = 6 L de solución al 50 % y x = 6 L de solución al 20 %. No se puede usar menos de 6 L al 50 % si se completa con solución al 20 %, porque al reducir y aumentar x disminuye el alcohol total y la concentración final quedaría por debajo del 35 %. Por tanto, se requieren como mínimo 6 L de solución al 50 %.
3. Si se usan los 5 L al 50 % y se completa hasta 12 L con solución al 20 %, calcula la concentración final y compara con el 35 % pedido.
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Con 5 L al 50 %, el alcohol aportado es 0,50·5 = 2,5 L. El volumen restante hasta 12 L es 7 L de solución al 20 %, que aportan 0,20·7 = 1,4 L de alcohol. El alcohol total es:
2,5 + 1,4 = 3,9 L.
La concentración final es:
3,9 / 12 = 0,325 = 32,5 %.
Queda 2,5 puntos porcentuales por debajo del 35 % pedido. Por eso la mezcla con solo 5 L al 50 % no sirve para el objetivo.