Aspersor circular y distancia a una acequia
Un terreno triangular tiene vértices A(0,0), B(6,0) y C(0,8), con medidas en hectómetros. Por el lado BC pasa una acequia recta. Se quiere instalar un aspersor circular centrado en A para regar parte del terreno. El aspersor tiene un alcance de 4,8 hm y se quiere saber si el agua llega justo hasta la acequia, si la cruza o si deja una franja sin regar. Además, se evalúa un modelo de aspersor de 4,5 hm y otro de 5 hm. El técnico necesita la ecuación de la recta BC, la distancia de A a esa recta y el punto de BC más cercano a A. También se debe interpretar el resultado para cada alcance, sin dibujar ni suponer que la acequia es paralela a algún eje. La decisión debe justificarse con cálculos, no con una estimación visual.
1. Halla la ecuación general de la recta BC y la distancia del punto A a esa recta.
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La recta pasa por B(6,0) y C(0,8). Usando la forma simétrica:
x/6 + y/8 = 1.
Multiplicando por 24: 4x + 3y = 24, es decir, 4x + 3y − 24 = 0.
La distancia de A(0,0) a la recta es:
d = |4·0 + 3·0 − 24| / √(4² + 3²) = 24 / 5 = 4,8 hm.
Por tanto, la acequia está a 4,8 hm del centro A.
2. Determina el punto de BC más cercano a A y explica cómo se obtiene.
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El punto más cercano es el pie de la perpendicular desde A a la recta BC. La recta tiene vector normal (4, 3), así que la perpendicular desde el origen sigue esa dirección. El pie se obtiene proyectando A sobre la recta:
P = (0,0) − [(4·0 + 3·0 − 24)/(4² + 3²)]·(4,3) P = (24/25)·(4,3) = (96/25, 72/25) = (3,84; 2,88).
Comprobación: 4(3,84) + 3(2,88) = 15,36 + 8,64 = 24, así que P pertenece a BC. Además, sus coordenadas están entre B y C, por lo que el punto cae sobre el segmento. La distancia AP es 4,8 hm.
3. Interpreta el resultado para alcances de 4,8 hm, 4,5 hm y 5 hm. ¿En qué caso el aspersor llega justo a la acequia, en cuál deja franja sin regar y en cuál la cruza?
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La distancia mínima de A a la acequia es 4,8 hm.
- Con alcance 4,8 hm, el aspersor es tangente a BC en el punto (3,84; 2,88): el agua llega justo hasta la acequia sin cruzarla.
- Con alcance 4,5 hm, como 4,5 < 4,8, el círculo no alcanza la recta BC y queda una franja sin regar junto a la acequia.
- Con alcance 5 hm, como 5 > 4,8, el círculo corta la recta BC; el agua cruza la acequia y cubre también una parte fuera del terreno triangular.
La decisión debe basarse en la comparación del alcance con la distancia calculada, no en una apreciación visual.