Altura de una antena medida desde dos estaciones
En una práctica de topografía, dos estudiantes miden la altura de una antena situada en un terreno horizontal. Colocan un teodolito de 1,5 m de altura en un punto A y observan la punta de la antena con un ángulo de elevación de 30°. Luego se acercan 60 m en línea recta hacia la base de la antena, hasta un punto B, y miden un ángulo de elevación de 45°. El terreno es llano y la antena es vertical. Con estos datos deben calcular la altura de la antena sobre el suelo y decidir si supera los 80 m, umbral que exige una señalización especial. Un compañero afirma que la altura es simplemente 60·tan45° = 60 m, porque se acercaron 60 m; otro cree que debe sumar los 1,5 m dos veces. El informe debe aclarar el error de ambas afirmaciones y presentar la altura con una décima de metro.
1. Con h como altura de la punta sobre la horizontal del instrumento y x como distancia horizontal desde B a la base, plantea las ecuaciones trigonométricas y calcula h y la altura total sobre el suelo.
Read the worked answer
Sea h la altura vertical desde la horizontal del teodolito hasta la punta de la antena, y sea x la distancia horizontal desde B hasta la base. En B, el ángulo de elevación es 45°:
tan45° = h/x = 1, luego h = x.
En A, la distancia horizontal a la base es x + 60 y el ángulo es 30°:
tan30° = h/(x + 60) = 1/√3, luego h = (x + 60)/√3.
Igualando: x = (x + 60)/√3. Entonces x√3 = x + 60, es decir, x(√3 − 1) = 60. Por tanto:
x = 60/(√3 − 1) = 30(√3 + 1) ≈ 81,96 m.
Así, h ≈ 81,96 m. La altura total sobre el suelo es 81,96 + 1,5 = 83,46 m ≈ 83,5 m.
2. Explica por qué son incorrectas las afirmaciones de que la altura es 60 m y de que hay que sumar 1,5 m dos veces.
Read the worked answer
La afirmación de 60 m confunde una distancia horizontal con una altura. Los 60 m son la separación entre las estaciones A y B, no la altura de la antena. Además, tan45° = 1 solo indica que, desde B, la altura h sobre el instrumento es igual a la distancia horizontal x desde B a la base; no autoriza a tomar 60 m como altura.
La afirmación de sumar 1,5 m dos veces también es errónea. Los ángulos se miden desde la misma altura del instrumento en ambas estaciones. Para pasar de la horizontal del teodolito al suelo se suma una sola vez la altura del instrumento, no dos. La altura total correcta es h + 1,5 m.
3. Decide si la antena supera los 80 m y cuánto margen hay.
Read the worked answer
La altura total calculada es aproximadamente 83,5 m. Como 83,5 > 80, la antena supera el umbral de 80 m y requiere la señalización especial. El margen es:
83,5 − 80 = 3,5 m aproximadamente.
El resultado no depende de una estimación visual: procede de resolver el sistema trigonométrico y de añadir correctamente la altura del instrumento una sola vez.