Juego con dos dados y ganancia esperada
En la fiesta escolar se propone un juego con dos dados cúbicos equilibrados, numerados del 1 al 6. El jugador paga 20 pesos por una tirada y gana 60 pesos si la suma de los dados es 7 u 11; en cualquier otro caso no recibe nada. La directiva quiere saber si el juego deja ganancia a la escuela, cuál debería ser el premio para que el juego sea equitativo y qué ocurre si se sube el premio a 80 pesos. También se plantea una variante en la que se gana solo si la suma es 7, manteniendo el costo de 20 pesos. Un profesor advierte que no basta con contar resultados favorables sin considerar que los dados son distinguibles y que todas las parejas ordenadas son igualmente probables. La comisión necesita una recomendación escrita con probabilidades, ganancia esperada y comparación de las dos variantes.
1. Calcula la probabilidad de ganar con la suma 7 u 11 y la ganancia esperada por jugada para el jugador y para la escuela con premio de 60 pesos y costo de 20 pesos.
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Hay 6·6 = 36 parejas ordenadas igualmente probables. Para la suma 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), es decir, 6 casos. Para la suma 11: (5,6) y (6,5), es decir, 2 casos. En total hay 8 casos favorables. Por tanto:
P(ganar) = 8/36 = 2/9 ≈ 0,222.
El premio esperado para el jugador es 60·(2/9) = 120/9 ≈ 13,33 pesos. Como paga 20 pesos, su ganancia neta esperada es 13,33 − 20 = −6,67 pesos por jugada. La escuela gana en promedio 6,67 pesos por jugada, sin contar otros costos.
2. Determina el premio que haría equitativo el juego con la regla 7 u 11. ¿Qué ocurre si el premio se fija en 80 pesos?
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Para que el juego sea equitativo, el premio esperado debe igualar el costo de 20 pesos:
P·(2/9) = 20, luego P = 20·(9/2) = 90 pesos.
Con un premio de 90 pesos, la ganancia neta esperada del jugador sería 0. Si el premio se fija en 80 pesos, el premio esperado es 80·(2/9) = 160/9 ≈ 17,78 pesos. La ganancia neta esperada del jugador sería 17,78 − 20 = −2,22 pesos, y la escuela seguiría ganando aproximadamente 2,22 pesos por jugada. El juego sería menos desfavorable para el jugador que con 60 pesos, pero no equitativo.
3. Analiza la variante en la que solo se gana con suma 7, manteniendo costo de 20 pesos y premio de 60 pesos. Compara su equidad con la regla anterior.
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Para la suma 7 hay 6 casos favorables de 36, así que:
P(ganar) = 6/36 = 1/6.
Con premio de 60 pesos, el premio esperado es 60·(1/6) = 10 pesos. La ganancia neta esperada del jugador es 10 − 20 = −10 pesos, y la escuela gana 10 pesos por jugada. El premio equitativo sería 20/(1/6) = 120 pesos.
Comparación: la regla 7 u 11 con premio de 60 pesos da una pérdida esperada de 6,67 pesos por jugada; la variante de solo suma 7 da una pérdida esperada de 10 pesos. Por tanto, la variante de solo suma 7 es menos favorable para el jugador y más rentable para la escuela con el mismo premio de 60 pesos.