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Se sustituye x = −2 en la expresión: 2(−2)² − 3(−2) + 1 = 2·4 + 6 + 1 = 15. El cuidado está en elevar al cuadrado antes de multiplicar y en manejar bien el doble signo negativo del término −3x.
El discriminante Δ = b² − 4ac determina la naturaleza de las raíces: si Δ = 0, la parábola es tangente al eje x y existe una sola raíz real repetida. En este caso x² − 6x + 9 = (x − 3)², con raíz doble x = 3.
La diferencia constante es d = 9 − 5 = 4 y el primer término es a₁ = 5. Con aₙ = a₁ + (n − 1)d se obtiene 5 + 4(n − 1) = 4n + 1, que para n = 1 devuelve 5.
Los resultados posibles son 1, 2, 3, 4, 5 y 6, y los primos entre ellos son 2, 3 y 5. Son tres casos favorables de seis equiprobables, de modo que la probabilidad es 3/6 = 1/2.
Al aplicar la propiedad del logaritmo del producto: log₂[x(x − 2)] = 3, luego x(x − 2) = 8, es decir, x² − 2x − 8 = 0, cuyas raíces son 4 y −2. El dominio exige x > 2, por lo que solo x = 4 es válida.
Por el teorema de Pitágoras, el cateto desconocido cumple b² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, de donde b = 8 cm. La hipotenusa es siempre el lado mayor, por lo que la resta se hace en ese orden.
Despejando y se obtiene y = (3/4)x + 2, forma pendiente-ordenada donde el coeficiente de x es la pendiente. Por tanto m = 3/4, y la ordenada en el origen es 2.
Se desarrolla como un producto de binomios: 2·1 + 2(−2i) + 3i·1 + 3i(−2i) = 2 − 4i + 3i − 6i². Como i² = −1, el último término vale +6, y agrupando resulta 8 − i.
Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, la matriz es invertible y el sistema es compatible determinado, es decir, admite exactamente una solución. Esto se aplica también mediante la regla de Cramer, que divide entre ese determinante.
Se aplica la regla de la potencia término a término: la derivada de x³ es 3x², la de −3x² es −6x, la de 5x es 5 y la de la constante −7 es 0. El resultado es 3x² − 6x + 5.
Una primitiva es x³ + x². Al evaluar entre 0 y 1 se obtiene (1 + 1) − (0 + 0) = 2, que es el área bajo la curva en ese intervalo.
El producto escalar se calcula como 3·2 + (−1)·4 = 6 − 4 = 2. Es un número real, no un vector, y su signo depende de los productos de las componentes correspondientes.
Una raíz cuadrada de índice par exige radicando no negativo: x − 3 ≥ 0, de donde x ≥ 3. El valor x = 3 se incluye porque la raíz de cero está definida y vale cero.
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. Por tanto el tercer ángulo mide 180° − 45° − 60° = 75°, resultado que además es positivo y menor que 180°, como exige la geometría euclidiana.
El numerador es una diferencia de cuadrados: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Al cancelar el factor común (x − 3), válido porque x ≠ 3, queda x + 3.
Para una parábola con a > 0, el vértice está en x = −b/(2a) = 4/2 = 2. Allí la función toma el valor mínimo f(2) = 4 − 8 + 7 = 3, y la parábola abre hacia arriba.
Los valores exactos son sen 30° = 1/2 y cos 60° = 1/2, por lo que la suma es 1. Ambos ángulos son complementarios, y por ello sen 30° = cos 60°.
Completando cuadrados: (x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 12 + 9 + 4, es decir, (x − 3)² + (y + 2)² = 25. El centro es (3, −2) y el radio 5.
Importa el orden y no hay repetición, por lo que se usan variaciones: V(4,3) = 4·3·2 = 24. También puede razonarse eligiendo primero las centenas, luego las decenas y por último las unidades.
La igualdad log₃(27) = x equivale a 3ˣ = 27. Como 27 = 3³, se concluye que x = 3, pues el logaritmo es el exponente al que hay que elevar la base.
La sustitución directa da la indeterminación 0/0, así que se factoriza: (x − 1)(x + 1)/(x − 1) = x + 1 para x ≠ 1. El límite es entonces 1 + 1 = 2, aunque la función no esté definida en x = 1.
En sucesos independientes la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades: P(A ∩ B) = 0,5 · 0,4 = 0,2. La suma 0,9 correspondería a la unión solo si fueran incompatibles.
La composición (f ∘ g)(x) significa f(g(x)), es decir, sustituir g(x) dentro de f: f(x²) = 2x² + 1. El orden importa, pues (g ∘ f)(x) daría (2x + 1)².
Con a₁ = 3 y d = 4, el término 20 es a₂₀ = 3 + 19·4 = 79. La suma es S₂₀ = 20(3 + 79)/2 = 10·82 = 820.
Se necesita discriminante positivo: Δ = k² − 36 > 0, es decir, k² > 36. Esto ocurre cuando k > 6 o k < −6, y excluye los valores k = ±6 donde la raíz sería doble.
El módulo es |z| = √(4+4) = 2√2 y el argumento principal, al estar en el segundo cuadrante, es 180° − 45° = 135°. Por tanto z = 2√2(cos 135° + i sen 135°).
El término general es aₙ = a₁·r^(n−1), de modo que a₆ = 5·3⁵ = 5·243 = 1215.
Los números primos del 1 al 6 son 2, 3 y 5, es decir, tres casos favorables de seis posibles. La probabilidad es 3/6 = 1/2.
La pendiente pedida es el opuesto del recíproco de 2, es decir, −1/2. Imponiendo el paso por (2, −1): −1 = −(1/2)(2) + b, de donde b = 0, y la recta es y = −(1/2)x.
Se usa sen(45° + 30°) = sen 45° cos 30° + cos 45° sen 30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4.
La derivada es f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x−1)(x−3), con puntos críticos en x = 1 y x = 3. La segunda derivada f″(x) = 6x − 12 vale −6 en x = 1, por lo que allí hay un máximo local.
Las curvas se cortan en x = −2 y x = 2. El área es ∫₋₂² (4 − x²) dx = [4x − x³/3]₋₂² = (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 32/3.
En la ecuación vectorial de una recta, el punto fijo es (1, 2, 0) y el vector que multiplica al parámetro t es el director, es decir, (3, −1, 2).
Se combinan los logaritmos: log₂[x(x−2)] = 3, luego x² − 2x = 8, es decir, x² − 2x − 8 = 0, cuyas raíces son 4 y −2. Como el argumento del logaritmo debe ser positivo, solo vale x = 4.
La asíntota vertical aparece donde se anula el denominador sin anularse el numerador. x + 3 = 0 da x = −3, y en ese punto el numerador vale −7, distinto de cero.
El término general es C(5,k)·x^(5−k)·2^k. El término independiente requiere 5 − k = 0, es decir, k = 5, y vale 2⁵ = 32.
Por el teorema del seno, a/sen A = b/sen B, luego b = 8·sen 45°/sen 30° = 8·(√2/2)/(1/2) = 8√2 cm.
Para una matriz invertible se cumple det(A⁻¹) = 1/det(A). Como det(A) = 2·3 − 1·4 = 2, el determinante de la inversa es 1/2.
La definición de parábola es el conjunto de puntos equidistantes de un foco y una directriz. Con foco (0,0) y directriz y = 4, el vértice está en (0, 2) y la ecuación resulta x² = −8(y − 2).
La palabra MATEMATICA tiene 10 letras, de las cuales son vocales A, E, A, I, A: cinco en total. La probabilidad es 5/10 = 1/2.
La fórmula es n(n−3)/2 con n = 8, de modo que 8·5/2 = 20 diagonales.
Por el teorema del resto, el resto es P(2) = 8 − 8 + 8 − 5 = 3.
La segunda ecuación es el doble de la primera, por lo que ambas representan la misma recta. Al haber una sola condición para dos incógnitas, el sistema tiene infinitas soluciones.
Se usa cos 2α = 1 − 2 sen²α = 1 − 2(9/25) = 1 − 18/25 = 7/25.
Se despeja x en y = 3x − 2: x = (y + 2)/3, e intercambiando variables resulta f⁻¹(x) = (x + 2)/3.
Es una progresión geométrica con a₁ = 1, r = 2 y 10 términos (desde 2⁰ hasta 2⁹). La suma es (2¹⁰ − 1)/(2 − 1) = 1023.
La pendiente de la tangente es la derivada y′ = 2x − 3 evaluada en x = 2, es decir, 4 − 3 = 1.
Es un límite notable: cuando x se aproxima a 0 en radianes, sen x ≈ x, por lo que el cociente tiende a 1.
Completando cuadrados: (x−2)² + (y+3)² = 4, que es una circunferencia de centro (2, −3) y radio √4 = 2.
La probabilidad es (4/10)·(3/9) = 12/90 = 2/15, ya que tras la primera extracción quedan 3 rojas de 9 bolas.