Fadenpendel mit großer Auslenkung: Modellgrenze statt verändertem g
Im Physikprofil der Oberstufe (S2) untersuchen vier Schülerinnen und Schüler in einem Schülerversuch die Schwingungsdauer eines Fadenpendels. Sie variieren die Auslenkung bei konstanter Fadenlänge l = 0,800 m und zählen jeweils 20 volle Schwingungen. Bei einer Auslenkung von 5° messen sie mit einer Stoppuhr t = 36,0 s, bei 30° t = 36,9 s. Die Gruppe berechnet mit T = t/20 und g = 4π²l/T² für beide Fälle einen Wert und behauptet: „Bei 30° ist g kleiner, also gilt die Energieerhaltung bei großen Amplituden nicht.“ Die Lehrkraft verlangt eine fachliche Prüfung, bevor die Messung in den Versuchsbericht aufgenommen wird. Die Stoppuhr wird von Hand bedient; die Reaktionszeit liegt bei etwa 0,2 s pro Start- und Stoppvorgang. Der Faden ist 0,800 m lang, der Pendelkörper hat einen Durchmesser von 2,5 cm und wird als Punktmasse behandelt. Die Luftreibung ist vernachlässigbar, die Raumtemperatur beträgt 21 °C. Ein Taschenrechner ist zugelassen.
1. Prüfen Sie die Behauptung der Gruppe. Entscheiden Sie, welcher g-Wert im Versuchsbericht angegeben werden sollte, und begründen Sie Ihre Entscheidung mit einer Rechnung.
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Für 5° ergibt sich T₁ = 36,0 s / 20 = 1,80 s und damit g₁ = 4π²·0,800 m / (1,80 s)² ≈ 9,75 m/s². Für 30° folgt T₂ = 1,845 s und g₂ ≈ 9,28 m/s². Die Differenz beträgt etwa 0,47 m/s², also rund 4,8 %. Entscheidend ist die Modellbedingung: Die Näherung sin θ ≈ θ gilt nur für θ ≪ 1 rad. Bei 30° = 0,524 rad ist die Korrektur der Periodendauer näherungsweise T ≈ T₀(1 + θ₀²/16). Mit T₀ = 1,80 s erhält man T ≈ 1,80 s · 1,0171 ≈ 1,831 s. Der beobachtete Wert 1,845 s liegt nur 0,014 s darüber, also innerhalb der groben Zeitmessunsicherheit. Die Messung bei 30° ist daher mit dem nichtlinearen Pendelmodell verträglich, nicht mit einer Änderung von g. Die Energieerhaltung wird nicht verletzt; die rücktreibende Kraft ist bei großer Auslenkung nicht mehr proportional zur Auslenkung. Im Bericht sollte g ≈ 9,75 m/s² mit Unsicherheit angegeben werden, nicht der Mittelwert aus beiden Messreihen.
2. Geben Sie ein verbessertes Messverfahren an und schätzen Sie den dominanten Unsicherheitsbeitrag ab.
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Die Handstoppung ist der dominante Fehler: Bei 20 Schwingungen führt eine Unsicherheit von etwa 0,3 s für Start und Stopp zu einer Unsicherheit der Periodendauer von 0,3 s / 20 = 0,015 s, also etwa 0,8 %. Da g proportional zu 1/T² ist, ergibt sich daraus eine relative Unsicherheit von etwa 1,7 %, also rund 0,17 m/s². Die Längenunsicherheit von 1 mm wäre mit 0,125 % deutlich kleiner. Ein besseres Verfahren ist eine Lichtschranke mit digitaler Zeitmessung über mindestens 50 Schwingungen oder eine Videoanalyse mit Bildrate 240 fps. Zusätzlich sollte die Auslenkung auf 5° begrenzt und der Pendelkörper als Punktmasse durch eine kleine Kugel mit bekannter Länge bis zum Schwerpunkt beschrieben werden. Die Messung bei 30° kann als Kontrollexperiment zur Modellgrenze bleiben, sollte aber nicht zur g-Bestimmung verwendet werden.