Elektronenkanone bei 250 kV: klassisch oder relativistisch?
Im Rahmen eines Hamburger Oberstufenprojekts zur Teilchenphysik berechnen Schülerinnen und Schüler die Geschwindigkeit von Elektronen in einer Elektronenkanone mit der Beschleunigungsspannung U = 250 kV. Eine Gruppe setzt die klassische kinetische Energie ½mv² gleich eU und erhält v = 2,96×10⁸ m/s. Eine zweite Gruppe erhält mit einer relativistischen Rechnung v = 2,22×10⁸ m/s. Die Gruppe diskutiert, ob der Unterschied von etwa 33 % für eine Präsentation akzeptabel sei. Ein Schüler argumentiert, die klassische Formel sei „auch richtig, weil sie unter c bleibt“. Die Lehrkraft verlangt eine Entscheidung mit Begründung, eine Fehlerabschätzung und einen Hinweis, wie der Begriff der Masse in der Relativitätstheorie zu deuten ist. Bekannt sind die Ruhemasse des Elektrons mₑ = 9,11×10⁻³¹ kg, die Elementarladung e = 1,60×10⁻¹⁹ C und c = 3,00×10⁸ m/s. Ein Taschenrechner ist zugelassen.
1. Entscheiden Sie, welches Modell bei U = 250 kV verwendet werden muss, und berechnen Sie den relativen Fehler der klassischen Näherung.
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Die Beschleunigungsenergie beträgt eU = 1,60×10⁻¹⁹ C · 2,50×10⁵ V = 4,00×10⁻¹⁴ J. Die Ruheenergie des Elektrons ist mₑc² = 9,11×10⁻³¹ kg · (3,00×10⁸ m/s)² ≈ 8,20×10⁻¹⁴ J. Damit ist eU etwa halb so groß wie die Ruheenergie; das Verhältnis eU/(mₑc²) ≈ 0,49 ist nicht klein gegen 1. Die klassische Näherung ist daher unzulässig. Relativistisch gilt γ = 1 + eU/(mₑc²) ≈ 1,49. Daraus folgt v = c·√(1 − 1/γ²) ≈ c·√(1 − 0,451) ≈ 0,741c ≈ 2,22×10⁸ m/s. Der relative Fehler der klassischen Rechnung ist (2,96 − 2,22)/2,22 ≈ 0,33, also 33 %. Die Präsentation muss die relativistische Rechnung verwenden; die klassische Rechnung kann als Vergleich dienen, um die Grenze der Näherung zu zeigen.
2. Beurteilen Sie die Aussage, die klassische Formel sei „auch richtig, weil sie unter c bleibt“.
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Die Aussage ist fachlich falsch. Ob eine Näherung gilt, entscheidet nicht, ob das Ergebnis zufällig unter c liegt, sondern ob die zugrunde gelegten Energie- und Impulsbeziehungen im betrachteten Bereich gültig sind. Hier ist die kinetische Energie vergleichbar mit der Ruheenergie, daher müssen relativistische Beziehungen verwendet werden. Würde man die Spannung weiter erhöhen, könnte die klassische Formel sogar v > c liefern, was ihre Inkonsistenz zeigt. Der Begriff „Masse“ ist in der Relativitätstheorie besser als invariante Ruhemasse zu deuten; die Zunahme der Energie mit der Geschwindigkeit steckt in E = γmₑc² und p = γmₑv, nicht in einer mysteriösen Zunahme der Substanz. Für die Präsentation sollte die Gruppe den Fehler quantifizieren und die Bedingung eU ≪ mₑc² als Gültigkeitskriterium nennen.