Offene Schachtel: Optimierung unter Mindestvolumen
Eine Fabrik stellt aus einem rechteckigen Karton der Maße 60 cm × 40 cm offene Schachteln her. Dazu werden an den vier Ecken Quadrate der Seitenlänge x ausgeschnitten und die Ränder hochgefaltet. Aus der Produktion ist bekannt, dass eine Schachtel mindestens 4 Liter fassen muss, sonst wird sie von der Qualitätskontrolle aussortiert. Die Produktionsleitung möchte die Seitenlänge x so wählen, dass das Volumen maximal wird, und dabei die Mindestfüllmenge einhalten. Ein Auszubildender behauptet, das Maximum liege bei x = 10 cm, weil dann die Grundfläche 40 cm × 20 cm betrage und „schön rund“ sei. Die Geschäftsführung verlangt eine belastbare Begründung, keine Wertetabelle. Zudem soll geklärt werden, ob die 4-Liter-Bedingung den optimalen Wert tatsächlich verändert oder nur den zulässigen Bereich einschränkt. Die Schnittkanten haben keine relevante Dicke; Verschnitt und Klebefalze bleiben unberücksichtigt.
1. Bestimme den Definitionsbereich für x sowie den Bereich, in dem das Volumen mindestens 4 Liter beträgt. Erläutere die Bedeutung der unteren Grenze.
Read the worked answer
Das Volumen ist V(x) = x(60−2x)(40−2x) = 4x(30−x)(20−x) mit 0 < x < 20, denn bei x = 20 cm bleibt keine Grundfläche übrig. Die Bedingung lautet V(x) ≥ 4000 cm³, also nach Division durch 4: x(30−x)(20−x) ≥ 1000. Numerisch, etwa durch Intervallhalbierung, ergeben sich die Gleichungsnullstellen x ≈ 1,98 und x ≈ 15,55. Da V stetig ist und z. B. V(5) = 7500 cm³ > 4000 cm³ gilt, ist der zulässige Bereich ungefähr [1,98; 15,55]. Die untere Grenze liegt nicht bei 0, weil bei x → 0 die Höhe der Schachtel gegen 0 geht und damit auch das Volumen gegen 0 strebt. Die Mindestfüllmenge schließt also sehr flache Schachteln aus.
2. Zeige, dass V′(x) = 12x² − 400x + 2400 gilt, und bestimme das globale Maximum von V im Definitionsbereich.
Read the worked answer
Ausmultiplizieren liefert V(x) = 4x³ − 200x² + 2400x. Ableiten ergibt V′(x) = 12x² − 400x + 2400. Nullsetzen und Division durch 4: 3x² − 100x + 600 = 0, also x = (100 ± √(10000 − 7200))/6 = (100 ± √2800)/6. Die Wurzeln sind x₁ ≈ 7,85 und x₂ ≈ 25,47. Nur x₁ liegt in (0, 20). Wegen V″(x) = 24x − 400 ist V″(7,85) ≈ −211,6 < 0, also liegt ein lokales Maximum vor. Da V(0) = V(20) = 0 und nur dieser innere kritische Punkt existiert, ist es das globale Maximum. Der maximale Inhalt ist V(7,85) ≈ 8450 cm³ ≈ 8,45 Liter.
3. Beurteile die Behauptung des Auszubildenden und die Rolle der 4-Liter-Bedingung für das Optimum.
Read the worked answer
Bei x = 10 cm ist V(10) = 10 · 40 · 20 = 8000 cm³ = 8 Liter. Das ist weniger als 8,45 Liter. Außerdem gilt V′(10) = 1200 − 4000 + 2400 = −400 < 0; die Volumenfunktion fällt dort bereits, eine Verkleinerung von x erhöht das Volumen. x = 10 ist also nicht optimal. Das tatsächliche Optimum x ≈ 7,85 liegt im zulässigen Bereich [1,98; 15,55]. Die 4-Liter-Bedingung verschiebt das Optimum daher nicht, sie schließt nur sehr flache und sehr hohe Schachteln aus. Entscheidend würde sie erst, wenn das unbeschränkte Optimum außerhalb des zulässigen Bereichs läge oder wenn die Mindestfüllmenge über 8,45 Liter läge; dann gäbe es keinen zulässigen Produktionsplan.