Sachsen-Anhalt Abitur Mathematics flashcards

33 cards. Read the term and the definition here. The deck at the top of this page is optional.

Ableitung von x^n

Für jede reelle Hochzahl n gilt (x^n)' = n·x^(n−1). Beispiel: (x^5)' = 5x^4. Für n = 0 ergibt sich die Ableitung einer Konstante zu null.

Kettenregel

Für eine verkettete Funktion f(g(x)) gilt: Ableitung = äußere Ableitung an der inneren Stelle multipliziert mit der inneren Ableitung, also f'(g(x))·g'(x). Beispiel: (e^(3x))' = 3e^(3x).

Produktregel

Die Ableitung eines Produkts u(x)·v(x) lautet u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x). Jeder Faktor wird einmal abgeleitet, der andere bleibt stehen; beide Terme werden addiert.

Quotientenregel

Für einen Quotienten u/v gilt (u'v − uv')/v². Der Nenner wird quadriert, im Zähler steht Zählerableitung mal Nenner minus Zähler mal Nennerableitung.

Hinreichendes Kriterium Extremstelle

Ist f'(x₀) = 0 und f''(x₀) < 0, liegt ein Hochpunkt vor; ist f''(x₀) > 0, ein Tiefpunkt. Bei f''(x₀) = 0 entscheidet ein Vorzeichenwechsel von f'.

Wendepunkt-Kriterium

Ein Wendepunkt liegt vor, wenn f''(x₀) = 0 und f'''(x₀) ≠ 0 gilt. Dort wechselt das Krümmungsverhalten; die Tangente ist die Wendetangente mit Steigung f'(x₀).

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist F eine Stammfunktion von f, so gilt das bestimmte Integral von a bis b gleich F(b) − F(a). Damit lassen sich Flächeninhalte über Stammfunktionen berechnen.

Fläche zwischen zwei Graphen

Der Inhalt zwischen f und g über [a;b] ist das Integral des Betrags von f(x) − g(x). Schnittstellen unterteilen das Intervall; dann Teilintegrale einzeln berechnen und addieren.

Partielle Integration

Formel: ∫u·v' dx = u·v − ∫u'·v dx. Sie ist das Gegenstück zur Produktregel und hilft bei Produkten wie x·e^x oder x·sin x.

Substitutionsregel

Für ∫f(g(x))·g'(x) dx gilt F(g(x)) + C. Bei bestimmten Integralen müssen auch die Grenzen substituiert werden: neue Grenzen sind g(a) und g(b).

Exponentielles Wachstum

Modell f(t) = a·e^(kt). Für k > 0 wächst der Bestand, für k < 0 zerfällt er. Verdopplungszeit ist ln2/k, Halbwertszeit ist −ln2/k.

Grenzwert und Asymptote

Strebt f(x) für x → ∞ gegen einen festen Wert c, ist y = c waagerechte Asymptote. Bei gebrochenrationalen Funktionen entscheidet der Gradvergleich von Zähler und Nenner.

Skalarprodukt

a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Das Ergebnis ist eine Zahl. Es gilt a⃗·b⃗ = 0 genau dann, wenn die Vektoren orthogonal sind (bei keinem Nullvektor).

Betrag eines Vektors

|a⃗| = √(a₁² + a₂² + a₃²). Der Betrag gibt die Länge des Pfeils an und wird für Abstände, Winkel und Normierungen von Normalenvektoren benötigt.

Winkel zwischen Vektoren

cos φ = (a⃗·b⃗)/(|a⃗|·|b⃗|). Der Winkel liegt zwischen 0° und 180°. Ein negatives Skalarprodukt zeigt einen stumpfen Winkel an.

Kreuzprodukt

a⃗×b⃗ ist ein Vektor, der senkrecht auf a⃗ und b⃗ steht. Sein Betrag entspricht dem Flächeninhalt des von a⃗ und b⃗ aufgespannten Parallelogramms; er liefert Normalenvektoren für Ebenen.

Parametergleichung einer Geraden

g: x⃗ = a⃗ + t·u⃗ mit Stützvektor a⃗ und Richtungsvektor u⃗ ≠ 0. Jeder Parameterwert t liefert genau einen Punkt der Geraden; t ist kein Punkt, sondern eine Zahl.

Ebenengleichung in Normalenform

n⃗·(x⃗ − a⃗) = 0, wobei n⃗ senkrecht auf der Ebene steht und a⃗ ein Ebenenpunkt ist. Ausmultipliziert ergibt sich die Koordinatenform n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d.

Hesse-Normalform

(n⃗·x⃗ − d)/|n⃗| = 0 entsteht durch Normieren des Normalenvektors. Der Abstand eines Punktes p⃗ zur Ebene ist dann |n⃗·p⃗ − d|/|n⃗|.

Lage Gerade und Ebene

Geradenterm in die Koordinatenform der Ebene einsetzen. Genau eine Lösung bedeutet Schnittpunkt, keine Lösung bedeutet parallel, unendlich viele Lösungen bedeuten, die Gerade liegt in der Ebene.

Abstand windschiefer Geraden

d = |(a₂⃗ − a₁⃗)·(u⃗×v⃗)| / |u⃗×v⃗|. Der Zähler ist das Spatprodukt aus Verbindungsvektor der Stützpunkte und beiden Richtungsvektoren; der Nenner normiert.

Gauß-Algorithmus

Umformen des LGS durch Zeilenvertauschen, Multiplizieren mit einer Zahl ungleich null und Addieren von Zeilen, bis Zeilenstufenform entsteht. Dann Lösbarkeit und Lösungsmenge ablesen.

Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme

Ein LGS ist eindeutig lösbar bei vollem Rang, unlösbar bei einer Zeile 0 = c mit c ≠ 0 und unendlich lösbar, wenn eine freie Variable auftritt.

Binomialverteilung Formel

P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k) für k = 0, …, n. Voraussetzung: n unabhängige Versuche mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit p in jedem Versuch.

Erwartungswert der Binomialverteilung

μ = n·p gibt die erwartete Trefferzahl an. Die Varianz ist σ² = n·p·(1−p), die Standardabweichung σ = √(n·p·(1−p)).

Kumulierte Wahrscheinlichkeit

P(X ≤ k) summiert die Einzelwahrscheinlichkeiten von 0 bis k. Daraus folgt P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1) und P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a−1).

Mindestens einmal

P(mindestens ein Treffer) = 1 − (1−p)^n, weil das Gegenereignis „kein Treffer in n Versuchen“ die Wahrscheinlichkeit (1−p)^n hat.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

P(A|B) = P(A∩B)/P(B) für P(B) > 0. Sie beschreibt die Wahrscheinlichkeit von A, wenn bekannt ist, dass B eingetreten ist; Baumdiagramme mit umgekehrten Ästen helfen.

Stochastische Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn P(A∩B) = P(A)·P(B) gilt; äquivalent dazu ist P(A|B) = P(A) bei P(B) > 0. Sonst heißen sie abhängig.

Satz von Bayes

P(A|B) = P(B|A)·P(A)/P(B). Der Nenner wird über die totale Wahrscheinlichkeit P(B) = Σ P(B|Aᵢ)·P(Aᵢ) berechnet; nützlich beim Vertauschen von Bedingungsrichtungen.

Sigma-Regeln

Bei hinreichend großer Binomialverteilung gilt näherungsweise P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 0,683, für 2σ ≈ 0,954 und für 3σ ≈ 0,997.

Fehler 1. und 2. Art

Fehler 1. Art: H₀ wird verworfen, obwohl sie wahr ist (Wahrscheinlichkeit höchstens α). Fehler 2. Art: H₀ wird beibehalten, obwohl sie falsch ist.

Zweiseitiger Signifikanztest

Bei H₀: p = p₀ wird der Ablehnungsbereich symmetrisch um μ = n·p₀ so gewählt, dass die Summe beider Randwahrscheinlichkeiten höchstens das Signifikanzniveau α beträgt.