Sachsen-Anhalt Abitur Mathematics cheat sheet

Ableitung: (x^n)' = n·x^(n−1); (e^x)' = e^x; (ln x)' = 1/x; (sin x)' = cos x; (cos x)' = −sin x.

Produktregel (u·v)' = u'v + uv'; Quotientenregel (u/v)' = (u'v − uv')/v²; Kettenregel f(g(x))' = f'(g(x))·g'(x).

Notwendige Bedingung für Extremstelle: f'(x₀) = 0. Hinreichend: f'(x₀)=0 und f''(x₀) < 0 → Maximum, f''(x₀) > 0 → Minimum.

Wendepunkt: f''(x₀) = 0 und f'''(x₀) ≠ 0; linksgekrümmt (konvex) für f''(x) > 0, rechtsgekrümmt (konkav) für f''(x) < 0.

Stammfunktion: ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C für n ≠ −1; ∫1/x dx = ln|x| + C; ∫e^x dx = e^x + C.

Hauptsatz: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Fläche zwischen Graph und x-Achse: Beträge der Teilintegrale über Nullstellen addieren.

Fläche zwischen zwei Graphen: ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx mit a, b als Schnittstellen; Vorzeichen durch Betrag oder Vertauschen von f und g korrigieren.

Substitution: ∫f(g(x))·g'(x) dx = F(g(x)) + C; Grenzen mitsubstituieren. Partielle Integration: ∫u·v' dx = uv − ∫u'·v dx.

Wachstum: exponentiell f(t)=a·e^(kt) mit k>0 Wachstum, k<0 Zerfall; Verdopplungszeit t = ln2/k, Halbwertszeit t = −ln2/k.

Skalarprodukt a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃; a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ a⃗·b⃗ = 0; Betrag |a⃗| = √(a⃗·a⃗).

Winkel zwischen Vektoren: cos φ = (a⃗·b⃗)/(|a⃗|·|b⃗|).

Kreuzprodukt a⃗×b⃗ liefert einen zu beiden Vektoren orthogonalen Normalenvektor; Betrag |a⃗×b⃗| = Fläche des aufgespannten Parallelogramms.

Gerade: g: x⃗ = a⃗ + t·u⃗ (Stützvektor a⃗, Richtungsvektor u⃗). Ebene in Parameterform: x⃗ = a⃗ + s·u⃗ + t·v⃗.

Ebenengleichung in Normalenform: n⃗·(x⃗ − a⃗) = 0; Koordinatenform n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d mit d = n⃗·a⃗.

Hesse-Normalform: (n⃗·x⃗ − d)/|n⃗| = 0; Abstand Punkt–Ebene = |n⃗·p⃗ − d|/|n⃗|.

Lagebeziehungen Gerade–Ebene: Einsetzen der Geraden in die Koordinatenform; genau eine Lösung → Schnittpunkt, keine Lösung → parallel, unendlich viele → Gerade liegt in der Ebene.

Abstand windschiefer Geraden: d = |(a₂⃗ − a₁⃗)·(u⃗×v⃗)|/|u⃗×v⃗|, mit Stützvektoren a₁⃗, a₂⃗ und Richtungen u⃗, v⃗.

LGS mit Gauß-Algorithmus auf Zeilenstufenform bringen: keine Lösung bei Widerspruch (0 = c, c ≠ 0), unendlich viele bei freier Variablen, eindeutig bei vollem Rang.

Binomialverteilung: P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k); Erwartungswert μ = n·p, Varianz σ² = n·p·(1−p), Standardabweichung σ = √(n·p·(1−p)).

Kumulierte Wahrscheinlichkeit P(X ≤ k) = Σᵢ₌₀ᵏ C(n,i)·p^i·(1−p)^(n−i); P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1).

Gegenereignis-Regel: P(mindestens einmal) = 1 − P(kein Treffer) = 1 − (1−p)^n.

Laplace-Wahrscheinlichkeit P(E) = |E|/|Ω| bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen; Additionsregel für disjunkte Ereignisse.

Bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) = P(A∩B)/P(B); Multiplikationssatz P(A∩B) = P(A|B)·P(B).

Unabhängigkeit: P(A∩B) = P(A)·P(B) ⇔ P(A|B) = P(A).

Satz von Bayes: P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B), mit P(B) = Σ P(B|Aᵢ)·P(Aᵢ) über eine vollständige Zerlegung.

Sigma-Regeln (näherungsweise Binomialverteilung): P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 0,683; P(μ−2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 0,954; P(μ−3σ ≤ X ≤ μ+3σ) ≈ 0,997.

Zweiseitiger Signifikanztest: H₀: p = p₀; Ablehnungsbereich so wählen, dass P(Ablehnung | H₀) ≤ α; Fehler 1. Art = H₀ verworfen, obwohl wahr.