Abkühlender Kaffee: Momentanrate, Mittelwert und lineare Näherung
Eine Tasse Kaffee steht in einem Raum mit konstanter Temperatur 20 °C. Die Kaffeetemperatur wird durch T(t) = 20 + 65e^(−0,045t) modelliert, wobei t die Zeit in Minuten seit dem Einschenken und T(t) die Temperatur in °C ist. Zu Beginn, also bei t = 0, hat der Kaffee 85 °C. Eine Person möchte den Kaffee trinken, sobald er höchstens 45 °C hat. Ein Kollege schlägt vor, die Abkühlung zwischen t = 0 und dem Trinkzeitpunkt durch eine Gerade zu beschreiben, weil man dann „schneller rechnen“ könne. Die Person bemerkt außerdem, dass der Kaffee nach 30 Minuten noch deutlich über Zimmertemperatur ist, und zweifelt, ob das Modell langfristig taugt. Prüfe die Aussagen mit Rechnung; eine Wertetabelle allein reicht nicht. Die Parameter wurden aus einer Messreihe geschätzt; Messfehler von ±1 °C sind möglich.
1. Bestimme den Zeitpunkt, zu dem der Kaffee erstmals 45 °C hat, und berechne die mittlere Abkühlrate in diesem Intervall.
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Ansatz: 20 + 65e^(−0,045t) = 45. Daraus folgt e^(−0,045t) = 25/65 = 5/13 ≈ 0,3846. Logarithmieren ergibt −0,045t = ln(0,3846) ≈ −0,9555, also t ≈ 21,23 Minuten. Die mittlere Abkühlrate ist (T(21,23) − T(0))/(21,23 − 0) = (45 − 85)/21,23 ≈ −1,88 °C pro Minute. Der Kaffee kühlt also im Mittel um knapp 1,9 °C pro Minute ab.
2. Vergleiche die momentane Abkühlrate bei t = 10 mit der mittleren Rate. Beurteile anschließend die lineare Näherung für t = 20.
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Die Ableitung ist T′(t) = −0,045 · 65 · e^(−0,045t) = −2,925e^(−0,045t). Bei t = 10 gilt T′(10) = −2,925e^(−0,45) ≈ −2,925 · 0,6376 ≈ −1,86 °C/min. Das ist betragsmäßig etwas kleiner als die mittlere Rate von 1,88 °C/min, weil die Abkühlung mit der Zeit langsamer wird. Die Tangente bei t = 10 lautet näherungsweise T ≈ 61,44 − 1,86(t − 10). Für t = 20 liefert sie 61,44 − 18,6 ≈ 42,8 °C. Tatsächlich ist T(20) = 20 + 65e^(−0,9) ≈ 46,4 °C. Die lineare Näherung unterschätzt die Temperatur um etwa 3,6 °C. Grund: T″(t) = 0,045² · 65 · e^(−0,045t) > 0, die Kurve ist konvex, die Tangente verläuft unterhalb des Graphen. Für eine Trinkentscheidung ist die Gerade damit nicht vorsichtig: Sie prognostiziert eine zu niedrige Temperatur.
3. Beurteile die langfristige Modellgüte und die Aussage, der Kaffee sei nach 30 Minuten noch deutlich über Zimmertemperatur.
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Für t → ∞ gilt e^(−0,045t) → 0, also T(t) → 20 °C. Das Modell erzwingt damit langfristig die Raumtemperatur, was zum Newtonschen Abkühlungsgesetz passt, solange die Raumtemperatur konstant bleibt und keine Luftbewegung oder Wärmequelle hinzukommt. Nach 30 Minuten ist T(30) = 20 + 65e^(−1,35) ≈ 20 + 65 · 0,2592 ≈ 36,8 °C. Die Aussage „noch deutlich über Zimmertemperatur“ ist also mit etwa 37 °C richtig. Sie widerlegt die langfristige Annäherung nicht, denn der Abstand zur Raumtemperatur sinkt exponentiell weiter. Wegen der Messfehler von ±1 °C ist der Trinkzeitpunkt nicht auf die Minute genau bestimmbar; für eine Entscheidung sollte man eher einen Sicherheitsabstand zur 45-°C-Grenze einplanen.