Drohnenbahnen: Kreuzung ist nicht Kollision
Zwei Drohnen bewegen sich in einem dreidimensionalen Koordinatensystem, Einheit Meter. Drohne A befindet sich zur Zeit t in Sekunden am Punkt A(t) = (1; 2; 0,4) + t(2; 1; 0,1). Drohne B startet gleichzeitig und hat die Position B(t) = (9; 1; 0,8) + t(−1; 2; −0,05). Die Flugbahnen werden als Geraden modelliert; die Drohnen haben einen Sicherheitsabstand von 2,0 m einzuhalten. Ein Fluglotse stellt fest, dass sich die beiden Bahnen in einem Punkt schneiden, und will den Start von B sofort abbrechen. Die Betreiberin weist darauf hin, dass ein Kreuzungspunkt der Bahnen noch keinen Zusammenstoß bedeutet. Zusätzlich ist zu prüfen, ob der Mindestabstand während des Fluges unterschritten wird. Die Drohnen haben einen Radius von 0,3 m; Wind und Beschleunigung bleiben unberücksichtigt. Die Positionen werden alle 0,1 s gemessen; für die Modellrechnung wird jedoch eine stetige Bewegung angenommen.
1. Zeige, dass sich die Bahngeraden schneiden, und bestimme den Schnittpunkt sowie die zugehörigen Parameter. Erkläre, warum daraus kein Zusammenstoß folgt.
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Gleichsetzen der Koordinaten liefert: 1 + 2t = 9 − s, 2 + t = 1 + 2s und 0,4 + 0,1t = 0,8 − 0,05s. Aus der zweiten Gleichung folgt t = 2s − 1. Einsetzen in die erste: 1 + 4s − 2 = 9 − s, also 5s = 10 und s = 2, damit t = 3. Kontrolle in der dritten Gleichung: 0,4 + 0,3 = 0,7 und 0,8 − 0,1 = 0,7. Der Schnittpunkt ist (7; 5; 0,7). Die Parameter sind aber verschieden: A erreicht ihn nach 3 s, B nach 2 s. Zum selben Zeitpunkt befinden sich die Drohnen daher an verschiedenen Orten. Eine gemeinsame Bahnkreuzung ist kein Kollisionsnachweis; dafür müssten die Zeitparameter übereinstimmen.
2. Bestimme den minimalen Abstand der Drohnen während des gemeinsamen Flugs für t ≥ 0 und prüfe, ob der Sicherheitsabstand eingehalten wird.
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Der Differenzvektor ist D(t) = A(t) − B(t) = (−8 + 3t; 1 − t; −0,4 + 0,15t). Sein Betragsquadrat ist |D(t)|² = (3t − 8)² + (1 − t)² + (0,15t − 0,4)². Ableiten und Nullsetzen: 2(3t − 8)·3 + 2(1 − t)(−1) + 2(0,15t − 0,4)·0,15 = 0. Das ergibt 18t − 48 − 2 + 2t + 0,045t − 0,12 = 0, also 20,045t = 50,12 und t ≈ 2,50 s. Einsetzen: D(2,5) = (−0,5; −1,5; −0,025). Damit ist |D(2,5)|² = 0,25 + 2,25 + 0,000625 = 2,500625, also |D(2,5)| ≈ 1,58 m. Da |D(t)|² für t → ∞ wächst und nur dieser eine kritische Punkt vorliegt, ist das das globale Minimum. Der Abstand von etwa 1,58 m unterschreitet den geforderten Sicherheitsabstand von 2,0 m deutlich.
3. Beurteile die Reaktion des Fluglotsen und schlage eine Maßnahme vor, falls der Sicherheitsabstand verletzt wird.
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Der Lotse reagiert vorschnell, wenn er allein aus dem Schnittpunkt der Bahnen auf einen Zusammenstoß schließt. Die Rechnung zeigt: Die Bahnen kreuzen sich, aber die Drohnen sind zu verschiedenen Zeiten dort. Seine Sorge ist trotzdem berechtigt, denn der tatsächliche Minimalabstand beträgt nur etwa 1,58 m und liegt unter 2,0 m. Eine sinnvolle Maßnahme ist eine Zeitverschiebung des Starts von B oder eine Änderung von Geschwindigkeit beziehungsweise Höhe, sodass der neue Minimalabstand mindestens 2,0 m beträgt. Eine bloße Verlängerung der Flugbahn löst das Problem nicht, weil die Bahnen weiterhin kreuzen. Nach jeder Änderung muss der Minimalabstand erneut über |A(t) − B(t − Δ)| beziehungsweise die geänderte Bahn berechnet werden; der Kreuzungspunkt allein genügt als Sicherheitsnachweis nicht.