Produktionsplan mit Parameter: eindeutig, aber nicht zulässig
Ein Betrieb produziert drei Bauteile P1, P2 und P3. Auf einer Maschine werden die Stückzahlen x, y und z in Hundert Stück gefertigt. Die notwendigen Maschinenstunden erfüllen das Gleichungssystem x + 2y + z = 80, 2x + y + 3z = 130 und x + a·y + 2z = 90. Der Parameter a beschreibt den Maschinenzeitbedarf von P2 auf einer zweiten Anlage; er ist zunächst unbekannt. Die Geschäftsführung will wissen, für welche a ein eindeutiger Produktionsplan existiert und ob dieser auch nichtnegative Stückzahlen liefert. Ein Planer setzt a = 0 und erhält rechnerisch ein eindeutiges Ergebnis; er will es sofort umsetzen. Die Qualitätssicherung verlangt mindestens 10 Hundert Stück pro Bauteil, weil sonst die Umrüstkosten zu hoch sind. Prüfe die mathematische und die betriebswirtschaftliche Zulässigkeit.
1. Untersuche, für welche a das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, und bestimme die Lösung in Abhängigkeit von a.
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Die Koeffizientendeterminante ist det = 1·(1·2 − 3a) − 2·(2·2 − 3·1) + 1·(2a − 1·1) = (2 − 3a) − 2·(1) + (2a − 1) = −a − 1. Für a ≠ −1 ist das System also eindeutig lösbar. Aus den ersten beiden Gleichungen folgt unabhängig von a: z = 3y − 30 und x = 110 − 5y. Einsetzen in die dritte Gleichung ergibt (110 − 5y) + ay + 2(3y − 30) = 90, also 50 + (a + 1)y = 90 und damit y = 40/(a + 1). Daraus folgen x = 110 − 200/(a + 1) und z = 120/(a + 1) − 30.
2. Beurteile den Plan für a = 0; erkläre, warum „eindeutig lösbar“ nicht „produzierbar“ bedeutet.
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Für a = 0 erhält man y = 40, x = 110 − 200 = −90 und z = 120 − 30 = 90. Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, aber x = −90 Hundert Stück ist als Stückzahl nicht produzierbar. „Eindeutig lösbar“ bedeutet nur, dass genau ein algebraisches Zahlentripel existiert; es sagt nichts über Nichtnegativität, Kapazitäten oder Mindestmengen aus. Der Planer muss die Lösung daher verwerfen oder den Parameter a ändern. Bei a = 0 wäre die Produktion von P1 negativ, was ökonomisch unsinnig ist.
3. Bestimme den Bereich für a, in dem alle Stückzahlen mindestens 10 Hundert Stück betragen.
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Die Bedingungen lauten: y = 40/(a + 1) ≥ 10, also a + 1 ≤ 4 und damit a ≤ 3; außerdem muss a > −1 gelten, damit y positiv ist. Für x gilt 110 − 200/(a + 1) ≥ 10, also 100 ≥ 200/(a + 1) und damit a + 1 ≥ 2, also a ≥ 1. Für z gilt 120/(a + 1) − 30 ≥ 10, also 120/(a + 1) ≥ 40 und damit a + 1 ≤ 3, also a ≤ 2. Zusammen ergibt sich 1 ≤ a ≤ 2. In diesem Bereich sind alle Stückzahlen mindestens 10 Hundert Stück; zum Beispiel liefert a = 1 das Tripel (10; 20; 30) und a = 2 das Tripel (43,33; 13,33; 10).