Schnelltest bei niedriger Defektrate: positive prädiktive Wahrscheinlichkeit
Ein Hersteller bezieht Bauteile von zwei Zulieferern A und B. A liefert 60 % der Teile, B 40 %. Aus früheren Prüfungen ist bekannt: 2 % der Teile von A und 5 % der Teile von B sind defekt. Ein Bauteil wird zufällig entnommen und geprüft. Der Werksleiter sagt: „Wenn ein Teil defekt ist, stammt es mit hoher Wahrscheinlichkeit von B, also sollten wir B ausschließen.“ Zusätzlich wird ein Schnelltest eingesetzt, der defekte Teile mit 92 % Wahrscheinlichkeit erkennt, also eine Sensitivität von 92 % hat, und einwandfreie Teile mit 95 % Wahrscheinlichkeit als einwandfrei einstuft, also eine Spezifität von 95 % hat. Ein positives Testergebnis führt bisher automatisch zur Rückweisung. Die Einkaufsabteilung bezweifelt, dass diese Regel bei der niedrigen Defektrate sinnvoll ist.
1. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein defektes Teil von B stammt, und beurteile die Aussage des Werksleiters.
Read the worked answer
Die Gesamtdefektrate ist P(D) = 0,6·0,02 + 0,4·0,05 = 0,012 + 0,02 = 0,032. Für die bedingte Wahrscheinlichkeit gilt P(B|D) = P(B ∩ D)/P(D) = (0,4·0,05)/0,032 = 0,02/0,032 = 0,625. Also stammen 62,5 % der defekten Teile von B und 37,5 % von A. Die Aussage „mit hoher Wahrscheinlichkeit von B“ ist damit nur eingeschränkt richtig: B ist wahrscheinlicher, aber keineswegs fast sicher. Ein Ausschluss von B würde die Defektrate der verbleibenden Lieferung auf 2 % senken, aber 40 % des Liefervolumens wegfallen lassen. Die Entscheidung lässt sich daher nicht allein aus dieser bedingten Wahrscheinlichkeit ableiten.
2. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein positiv getestetes Teil tatsächlich defekt ist.
Read the worked answer
Sei + das positive Testergebnis. Bekannt sind P(+|D) = 0,92 und P(+|D^c) = 0,05, wobei D^c das Teil als einwandfrei bezeichnet. Mit P(D) = 0,032 gilt P(D|+) = P(D)·P(+|D) / [P(D)·P(+|D) + P(D^c)·P(+|D^c)] = 0,032·0,92 / [0,032·0,92 + 0,968·0,05] = 0,02944 / (0,02944 + 0,0484) = 0,02944/0,07784 ≈ 0,378. Nur etwa 37,8 % der positiven Tests stammen also von tatsächlich defekten Teilen; rund 62,2 % sind falsch positiv. Ursache ist die niedrige Vortestwahrscheinlichkeit von 3,2 %: Die vielen einwandfreien Teile erzeugen trotz geringer Falsch-positiv-Rate mehr positive Ergebnisse als die wenigen defekten Teile.
3. Beurteile, ob der Schnelltest als alleinige Rückweisungsgrundlage geeignet ist, und schlage eine sinnvolle Änderung vor.
Read the worked answer
Als alleinige Rückweisungsgrundlage ist der Test ungeeignet, weil die positive prädiktive Wahrscheinlichkeit trotz hoher Sensitivität und Spezifität nur etwa 38 % beträgt. Mehr als die Hälfte der zurückgewiesenen Teile wäre einwandfrei; das verursacht unnötige Kosten und Lieferverzögerungen. Sinnvoll ist ein Bestätigungstest bei positivem Ergebnis, eine Kombination mit der Lieferanteninformation, weil B die höhere Defektrate hat, oder eine Verbesserung der Spezifität. Bei einer Prävalenz von 3,2 % dominieren die falsch-positiven Ergebnisse; eine Erhöhung der Spezifität würde die positive prädiktive Wahrscheinlichkeit deutlich stärker verbessern als eine weitere Erhöhung der Sensitivität.