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Sachsen-Anhalt Abitur Mathematics practice questions

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First 50 of 200 questions. Each one lists the choices, the correct answer, and an explanation. The checker at the top of this page saves progress in this browser when it is available.

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Question 1Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x. An welcher Stelle x hat der Graph von f eine lokale Minimalstelle?

  1. x = 1 Correct answer.
  2. x = 3
  3. x = −1
  4. x = 0

Explanation

Es gilt f'(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1), also sind die kritischen Stellen x = 1 und x = −1. Mit f''(x) = 6x folgt f''(1) = 6 > 0, daher liegt bei x = 1 ein lokales Minimum vor. Bei x = −1 ist f''(−1) = −6 < 0, dort liegt ein lokales Maximum.

Question 2Analysis

Welchen Wert hat der Grenzwert lim(x→0) (sin(3x))/x?

  1. 3 Correct answer.
  2. 1
  3. 0
  4. Der Grenzwert existiert nicht.

Explanation

Mit der Substitution u = 3x gilt (sin(3x))/x = 3·sin(u)/u, und wegen lim(u→0) sin(u)/u = 1 folgt der Grenzwert 3. Der Faktor 3 aus dem Argument bleibt also als Vorfaktor erhalten.

Question 3Analysis

Eine Funktion f ist auf ℝ definiert und es gilt f'(x) > 0 für alle x. Welche Aussage über f ist dann zwingend richtig?

  1. f ist nach oben beschränkt.
  2. f ist streng monoton wachsend. Correct answer.
  3. Der Graph von f ist eine Gerade.
  4. f hat genau eine Nullstelle.

Explanation

Eine überall positive Ableitung bedeutet, dass die Steigung des Graphen an jeder Stelle positiv ist; daraus folgt die strenge Monotonie auf ℝ. Über Beschränktheit oder Nullstellen sagt die Ableitung allein nichts aus, und eine Gerade ist nur ein Spezialfall.

Question 4Analysis

Berechne das Integral ∫₀¹ (2x + 1) dx.

  1. 2 Correct answer.
  2. 1
  3. 3/2
  4. 5/2

Explanation

Eine Stammfunktion von 2x + 1 ist x² + x. Auswerten an den Grenzen ergibt (1² + 1) − (0² + 0) = 2. Der Flächeninhalt unter der Geraden zwischen 0 und 1 beträgt also 2.

Question 5Analysis

Die Funktion f mit f(x) = (x² − 4)/(x − 2) ist für x ≠ 2 definiert. Welche Art von Definitionslücke liegt bei x = 2 vor?

  1. Eine hebbare Definitionslücke. Correct answer.
  2. Eine Sprungstelle mit endlichem Sprung.
  3. Eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
  4. Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Explanation

Der Zähler faktorisiert zu (x−2)(x+2), sodass sich der Faktor (x−2) kürzen lässt: f(x) = x + 2 für x ≠ 2. Der Grenzwert lim(x→2) f(x) = 4 existiert, die Lücke ist also hebbar.

Question 6Analysis

Welche Stammfunktion F gehört zur Funktion f(x) = 1/x für x > 0?

  1. F(x) = e^x
  2. F(x) = ln(x) Correct answer.
  3. F(x) = −1/x²
  4. F(x) = x·ln(x) − x

Explanation

Die Ableitung von ln(x) ist 1/x für x > 0, daher ist F(x) = ln(x) eine Stammfunktion von f. Allgemein lautet die Stammfunktion ln(x) + C mit einer Konstante C.

Question 7Analysis

Für eine Funktion f gilt an einer Stelle x₀: f'(x₀) = 0 und f''(x₀) = 0, während f'''(x₀) ≠ 0. Was folgt daraus für den Graphen an der Stelle x₀?

  1. Es liegt ein Wendepunkt, aber kein Extrempunkt vor. Correct answer.
  2. Es liegt ein lokales Minimum vor.
  3. Es liegt ein Terrassenpunkt mit waagerechter Tangente vor, aber kein Wendepunkt.
  4. Es liegt ein lokales Maximum vor.

Explanation

Wegen f'(x₀) = 0 ist die Tangente waagerecht, und wegen f''(x₀) = 0 mit f'''(x₀) ≠ 0 wechselt die Krümmung das Vorzeichen. Damit ist x₀ eine Wendestelle; da f'' das Vorzeichen wechselt, liegt kein Extrempunkt vor.

Question 8Analysis

Die Funktion f mit f(x) = e^(−x²) beschreibt eine Glockenkurve. Welche Aussage über ihr Symmetrieverhalten ist richtig?

  1. Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Correct answer.
  2. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
  3. Der Graph ist achsensymmetrisch zur Geraden x = 1.
  4. Der Graph besitzt keine Symmetrie.

Explanation

Es gilt f(−x) = e^(−(−x)²) = e^(−x²) = f(x) für alle x, also ist f eine gerade Funktion. Der Graph ist damit achsensymmetrisch zur y-Achse.

Question 9Analysis

Gegeben ist f(x) = x·e^x. Welche Ableitung ist korrekt?

  1. f'(x) = e^x
  2. f'(x) = (1 + x)·e^x Correct answer.
  3. f'(x) = (x + x²)·e^x
  4. f'(x) = x·e^x

Explanation

Nach der Produktregel gilt f'(x) = 1·e^x + x·e^x = (1 + x)·e^x. Der erste Summand stammt aus der Ableitung von x, der zweite aus der Ableitung von e^x.

Question 10Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x² + 4 hat eine Wendestelle. An welcher Stelle liegt sie?

  1. x = 2
  2. x = 1 Correct answer.
  3. x = 0
  4. x = 3

Explanation

Es gilt f'(x) = 3x² − 6x und f''(x) = 6x − 6. Die Bedingung f''(x) = 0 liefert x = 1, und wegen f'''(1) = 6 ≠ 0 liegt dort tatsächlich eine Wendestelle vor.

Question 11Analysis

Das uneigentliche Integral ∫₁^∞ x^(−2) dx soll bestimmt werden. Welcher Wert ergibt sich?

  1. 1/2
  2. 1 Correct answer.
  3. Es divergiert.
  4. 2

Explanation

Eine Stammfunktion von x^(−2) ist −1/x. Der Grenzwert lim(b→∞) [−1/x]₁^b = lim(b→∞)(−1/b + 1) ergibt 1. Das Integral konvergiert also gegen 1.

Question 12Analysis

Welche der folgenden Funktionen hat für x → ∞ eine waagerechte Asymptote y = 2?

  1. g(x) = 2^x
  2. g(x) = 2x/(x + 1) Correct answer.
  3. g(x) = 2/x
  4. g(x) = 2 + x

Explanation

Bei g(x) = 2x/(x+1) haben Zähler und Nenner denselben Grad; der Grenzwert für x→∞ ist der Quotient der Leitkoeffizienten, also 2/1 = 2. Damit ist y = 2 waagerechte Asymptote.

Question 13Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x² beschreibt auf dem Intervall [0, 2] eine Kurve. Wie groß ist der mittlere Funktionswert (Mittelwert) von f auf diesem Intervall?

  1. 1
  2. 2
  3. 8/3
  4. 4/3 Correct answer.

Explanation

Der Mittelwert ist 1/(b−a)·∫ₐᵇ f(x) dx = 1/2·∫₀² x² dx = 1/2·[x³/3]₀² = 1/2·8/3 = 4/3. Der mittlere Funktionswert liegt also bei etwa 1,33.

Question 14Analysis

Wie lautet die Ableitung von f(x) = ln(2x) für x > 0?

  1. 2/x
  2. ln(2)/x
  3. 1/x Correct answer.
  4. 1/(2x)

Explanation

Mit der Kettenregel gilt f'(x) = 1/(2x)·2 = 1/x. Alternativ schreibt man ln(2x) = ln(2) + ln(x); die Konstante ln(2) fällt beim Ableiten weg, sodass ebenfalls 1/x entsteht.

Question 15Analysis

Eine ganzrationale Funktion hat die Gleichung f(x) = x⁴ − 4x². Wie viele Nullstellen besitzt f?

  1. Genau eine.
  2. Genau vier.
  3. Genau zwei.
  4. Genau drei. Correct answer.

Explanation

Mit der Substitution u = x² folgt u² − 4u = 0, also u = 0 oder u = 4. Daraus ergeben sich x = 0, x = 2 und x = −2; die Funktion hat damit genau drei Nullstellen.

Question 16Analysis

Die Funktion f ist auf ℝ definiert und es gilt f(1) = 3 sowie f(4) = 9. Welche Aussage folgt aus dem Mittelwertsatz der Differenzialrechnung, wenn f auf [1, 4] differenzierbar ist?

  1. Es gibt eine Stelle c in (1, 4) mit f'(c) = 2. Correct answer.
  2. Es gibt eine Stelle c in (1, 4) mit f'(c) = 6.
  3. f ist auf [1, 4] streng monoton wachsend.
  4. Es gilt f'(1) = 2.

Explanation

Der Mittelwertsatz besagt, dass eine Stelle c im offenen Intervall existiert, an der die Ableitung gleich der Sekantensteigung ist. Diese beträgt (9 − 3)/(4 − 1) = 2, also gilt f'(c) = 2 für ein passendes c.

Question 17Analysis

Die Gerade y = 2x + 1 schneidet den Graphen von f(x) = x². An welchen Stellen liegen die Schnittpunkte?

  1. x = 1 und x = −1
  2. x = 0 und x = 2
  3. x = 2 und x = −1
  4. x = 1 + √2 und x = 1 − √2 Correct answer.

Explanation

Gleichsetzen liefert x² = 2x + 1, also x² − 2x − 1 = 0. Mit der pq-Formel folgt x = 1 ± √2; beide Werte erfüllen die Gleichung und beschreiben die Schnittstellen.

Question 18Analysis

Welche Funktion hat an der Stelle x = 0 eine senkrechte Asymptote?

  1. h(x) = e^x
  2. h(x) = x² + 1
  3. h(x) = 1/(x²) Correct answer.
  4. h(x) = x/(x − 1)

Explanation

Bei h(x) = 1/x² wächst der Betrag der Funktionswerte für x→0 unbeschränkt, der Nenner wird null und der Zähler bleibt von null verschieden. Daher liegt bei x = 0 eine senkrechte Asymptote vor.

Question 19Analysis

Gegeben ist f(x) = sin(x). Welche Gleichung beschreibt die Tangente an den Graphen im Punkt (0 | 0)?

  1. y = x Correct answer.
  2. y = 1
  3. y = −x
  4. y = cos(x)

Explanation

Die Ableitung von sin(x) ist cos(x), und es gilt cos(0) = 1. Die Tangente hat also die Steigung 1 und verläuft durch den Ursprung, ihre Gleichung lautet y = x.

Question 20Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x ist auf dem Intervall [−2, 2] definiert. Wo liegt das globale Minimum auf diesem Intervall?

  1. Bei x = −2 mit f(−2) = −2
  2. Bei x = 2 mit f(2) = 2
  3. Bei x = −1 mit f(−1) = 2
  4. Bei x = 1 mit f(1) = −2 Correct answer.

Explanation

Zu prüfen sind die kritischen Stellen x = ±1 und die Randstellen x = ±2. Es gilt f(1) = −2, f(−1) = 2, f(−2) = −2 und f(2) = 2. Das globale Minimum ist −2 und wird sowohl bei x = 1 als auch am Rand x = −2 angenommen; unter den angebotenen Stellen ist x = 1 mit f(1) = −2 ein korrekter globaler Minimalpunkt.

Question 21Analysis

Wie lautet die Ableitung von f(x) = (x² + 1)⁵?

  1. 5x(x² + 1)⁴
  2. 5(x² + 1)⁴
  3. 2x(x² + 1)⁴
  4. 10x(x² + 1)⁴ Correct answer.

Explanation

Nach der Kettenregel ist die äußere Ableitung 5(x² + 1)⁴, multipliziert mit der inneren Ableitung 2x. Das ergibt f'(x) = 10x(x² + 1)⁴.

Question 22Analysis

Die Folge (aₙ) ist durch aₙ = (2n + 1)/n für n ≥ 1 definiert. Welchen Grenzwert hat die Folge für n → ∞?

  1. 0
  2. 2 Correct answer.
  3. 1
  4. Die Folge divergiert.

Explanation

Durch Umformen erhält man aₙ = 2 + 1/n. Für n→∞ strebt 1/n gegen 0, also konvergiert die Folge gegen 2.

Question 23Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x³ + ax hat an der Stelle x = 1 eine waagerechte Tangente. Welchen Wert muss der Parameter a haben?

  1. a = −3 Correct answer.
  2. a = 0
  3. a = 3
  4. a = 1

Explanation

Es gilt f'(x) = 3x² + a. Die Bedingung f'(1) = 0 liefert 3 + a = 0, also a = −3. Mit diesem Wert hat der Graph bei x = 1 tatsächlich die Steigung null.

Question 24Analysis

Der Graph einer Funktion f verläuft für x → −∞ gegen 0 und für x → ∞ gegen 0 und ist stets positiv. Welche Funktion kann f sein?

  1. f(x) = e^x
  2. f(x) = e^(−x²) Correct answer.
  3. f(x) = x²
  4. f(x) = 1/x²

Explanation

Für e^(−x²) strebt der Exponent für x→±∞ gegen −∞, also geht der Funktionswert in beiden Richtungen gegen 0. Zudem ist die Exponentialfunktion stets positiv, alle Bedingungen sind erfüllt.

Question 25Analysis

Das Integral ∫₀^π sin(x) dx soll berechnet werden. Welcher Wert ergibt sich?

  1. π
  2. 0
  3. 1
  4. 2 Correct answer.

Explanation

Eine Stammfunktion von sin(x) ist −cos(x). Auswerten an den Grenzen ergibt −cos(π) − (−cos(0)) = 1 + 1 = 2. Die Fläche unter der Sinuskurve über eine Halbperiode beträgt also 2.

Question 26Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 3x² − 6x + 1. Wie lautet die Ableitungsfunktion f'?

  1. f'(x) = x³ − 3x² + x
  2. f'(x) = 6x + 1
  3. f'(x) = 3x − 6
  4. f'(x) = 6x − 6 Correct answer.

Explanation

Nach der Potenzregel wird jeder Summand einzeln abgeleitet: aus 3x² wird 6x, aus −6x wird −6, und die Konstante 1 entfällt. Damit ergibt sich f'(x) = 6x − 6.

Question 27Analysis

Die Funktion f mit f(x) = 2·sin(x) ist gegeben. Welchen Wert hat f'(π/2)?

  1. 0 Correct answer.
  2. −2
  3. π
  4. 2

Explanation

Es gilt f'(x) = 2·cos(x). An der Stelle x = π/2 ist cos(π/2) = 0, also f'(π/2) = 0. Die Kosinusfunktion hat dort eine Nullstelle, weil der Sinus bei π/2 ein Maximum besitzt.

Question 28Analysis

Eine Funktion f hat an der Stelle x₀ = 2 eine einfache Nullstelle. Welche Aussage über den Graphen von f ist damit zwingend verbunden?

  1. Der Graph hat an der Stelle 2 eine waagerechte Tangente.
  2. Der Graph schneidet die x-Achse an der Stelle 2 und wechselt dort das Vorzeichen. Correct answer.
  3. Der Graph berührt die x-Achse an der Stelle 2, ohne sie zu schneiden.
  4. Der Graph hat an der Stelle 2 eine senkrechte Asymptote.

Explanation

Bei einer einfachen Nullstelle ist der Linearfaktor (x − 2) genau einmal im Funktionsterm enthalten. Daraus folgt ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte beim Durchlaufen der Stelle 2, der Graph schneidet also die x-Achse.

Question 29Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x² − 4x + 5 soll auf Extremstellen untersucht werden. Welches Ergebnis ist korrekt?

  1. Die Funktion besitzt keine Extremstelle.
  2. Bei x = 0 liegt ein lokales Minimum mit f(0) = 5.
  3. Bei x = 2 liegt ein lokales Maximum mit f(2) = 1.
  4. Bei x = 2 liegt ein lokales Minimum mit f(2) = 1. Correct answer.

Explanation

Aus f'(x) = 2x − 4 = 0 folgt x = 2. Wegen f''(x) = 2 > 0 ist dort ein lokales Minimum, und f(2) = 4 − 8 + 5 = 1. Die Parabel öffnet nach oben, das Minimum ist sogar global.

Question 30Analysis

Wie lautet die Ableitung von f(x) = e^(3x) + x?

  1. f'(x) = 3e^(3x) + 1 Correct answer.
  2. f'(x) = e^(3x) + 1
  3. f'(x) = 3e^(3x) + x
  4. f'(x) = (1/3)e^(3x) + 1

Explanation

Beim Exponentialterm e^(3x) liefert die Kettenregel den inneren Faktor 3, also 3e^(3x). Die Ableitung von x ist 1, sodass f'(x) = 3e^(3x) + 1 entsteht.

Question 31Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x³ − 6x² + 9x ist gegeben. An welcher Stelle liegt eine Wendestelle?

  1. x = 2 Correct answer.
  2. x = 0
  3. x = 1
  4. x = 3

Explanation

Es gilt f'(x) = 3x² − 12x + 9 und f''(x) = 6x − 12. Die Bedingung f''(x) = 0 liefert x = 2, und wegen f'''(x) = 6 ≠ 0 liegt dort tatsächlich eine Wendestelle vor.

Question 32Analysis

Berechnet werden soll das bestimmte Integral ∫₀² (3x² + 1) dx. Welcher Wert ergibt sich?

  1. 12
  2. 8
  3. 6
  4. 10 Correct answer.

Explanation

Eine Stammfunktion ist F(x) = x³ + x. Damit gilt F(2) − F(0) = (8 + 2) − 0 = 10. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung liefert also den Wert 10.

Question 33Analysis

Die Folge (aₙ) ist durch aₙ = 3 + (−1)ⁿ/n für n ≥ 1 definiert. Welche Aussage über ihr Konvergenzverhalten ist richtig?

  1. Die Folge konvergiert gegen 0.
  2. Die Folge konvergiert gegen 3. Correct answer.
  3. Die Folge hat die beiden Häufungspunkte 2 und 4.
  4. Die Folge divergiert, weil das Vorzeichen wechselt.

Explanation

Der Term (−1)ⁿ/n ist beschränkt durch 1/n und strebt daher gegen 0. Damit gilt aₙ → 3, und der Vorzeichenwechsel beeinflusst den Grenzwert nicht.

Question 34Analysis

Die Funktion f mit f(x) = (x² − 1)/(x − 1) ist für x ≠ 1 definiert. Welche Aussage beschreibt das Verhalten an der Stelle x = 1 korrekt?

  1. Es liegt eine hebbare Definitionslücke vor; der Grenzwert ist 2. Correct answer.
  2. Es liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.
  3. Es liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.
  4. Die Funktion hat bei x = 1 eine Nullstelle.

Explanation

Durch Faktorisieren erhält man (x² − 1)/(x − 1) = (x + 1)(x − 1)/(x − 1) = x + 1 für x ≠ 1. Der Grenzwert für x → 1 ist also 2, die Definitionslücke ist hebbar.

Question 35Analysis

Eine ganzrationale Funktion dritten Grades habe die Nullstellen x = −1, x = 2 und x = 4 sowie den Leitkoeffizienten 1. Wie lautet ihr Funktionsterm?

  1. f(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 4)
  2. f(x) = (x − 1)(x + 2)(x + 4)
  3. f(x) = (x + 1)(x − 2)(x − 4) Correct answer.
  4. f(x) = 3(x + 1)(x − 2)(x − 4)

Explanation

Jede Nullstelle x₀ erzeugt einen Linearfaktor (x − x₀). Aus −1, 2 und 4 folgen die Faktoren (x + 1), (x − 2) und (x − 4); der Leitkoeffizient 1 bleibt unverändert.

Question 36Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x·ln(x) ist für x > 0 definiert. Wie lautet f'(x)?

  1. f'(x) = ln(x) + 1 Correct answer.
  2. f'(x) = 1/x
  3. f'(x) = x·ln(x) + 1
  4. f'(x) = ln(x)

Explanation

Nach der Produktregel gilt f'(x) = 1·ln(x) + x·(1/x) = ln(x) + 1. Der zweite Summand entsteht aus der Ableitung des Logarithmus.

Question 37Analysis

Für eine Funktion f gilt: f(0) = 1, f'(0) = −2 und f''(0) = 6. Wie lautet die Gleichung der Näherungsparabel (Taylorpolynom zweiten Grades) an der Stelle 0?

  1. p(x) = 1 − 2x − 3x²
  2. p(x) = 1 + 2x + 3x²
  3. p(x) = 1 − 2x + 6x²
  4. p(x) = 1 − 2x + 3x² Correct answer.

Explanation

Das Taylorpolynom zweiten Grades lautet p(x) = f(0) + f'(0)x + (f''(0)/2)x². Mit den gegebenen Werten ergibt sich p(x) = 1 − 2x + (6/2)x² = 1 − 2x + 3x².

Question 38Analysis

Der Graph einer Funktion f verläuft durch den Punkt P(1 | 4), und es gilt f'(1) = 3. Welche Gleichung beschreibt die Tangente an den Graphen im Punkt P?

  1. y = 3x + 1 Correct answer.
  2. y = 3x + 4
  3. y = x + 3
  4. y = −3x + 7

Explanation

Die Tangente hat die Steigung f'(1) = 3 und verläuft durch P(1 | 4). Aus y = 3x + b folgt mit 4 = 3·1 + b der Achsenabschnitt b = 1, also y = 3x + 1.

Question 39Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x² beschreibt auf [0, 3] eine Kurve. Wie groß ist die mittlere Steigung (Differenzenquotient) über diesem Intervall?

  1. 2
  2. 3 Correct answer.
  3. 6
  4. 9

Explanation

Der Differenzenquotient lautet (f(3) − f(0))/(3 − 0) = (9 − 0)/3 = 3. Die mittlere Steigung beschreibt die Sekante durch die Randpunkte.

Question 40Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x² + 3x − 1. Welche Aussage über ihre Nullstellen ist richtig?

  1. f hat genau eine Nullstelle bei x = 1, und zwar eine dreifache. Correct answer.
  2. f hat genau eine Nullstelle bei x = −1, und zwar eine einfache.
  3. f hat keine Nullstelle.
  4. f hat drei verschiedene Nullstellen.

Explanation

Es gilt f(x) = (x − 1)³, denn das ist die dritte binomische Potenz. Somit ist x = 1 eine dreifache Nullstelle, und der Graph berührt dort die x-Achse mit einem Sattelpunkt.

Question 41Analysis

Die Funktion f mit f(x) = 4/(x² + 1) ist auf ℝ definiert. Welche Aussage über ihr Verhalten für x → ±∞ ist richtig?

  1. Der Graph hat keine Asymptote, da der Nenner nie null wird.
  2. Der Graph hat die schiefe Asymptote y = x.
  3. Der Graph hat die waagerechte Asymptote y = 4.
  4. Der Graph hat die waagerechte Asymptote y = 0. Correct answer.

Explanation

Für x → ±∞ wächst der Nenner x² + 1 unbeschränkt, während der Zähler konstant 4 bleibt. Der Quotient strebt daher gegen 0, sodass y = 0 eine waagerechte Asymptote ist.

Question 42Analysis

Für eine differenzierbare Funktion f gilt im Intervall [0, 4]: f(0) = 1 und f(4) = 9. Welche Aussage folgt aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung?

  1. Es gibt eine Stelle c in (0, 4) mit f'(c) = 8.
  2. Es gibt eine Stelle c in (0, 4) mit f'(c) = 2. Correct answer.
  3. Es gilt f'(x) = 2 für alle x in [0, 4].
  4. Die Funktion f ist auf [0, 4] konstant.

Explanation

Der Mittelwertsatz garantiert eine Stelle c im offenen Intervall, an der die Ableitung gleich dem Differenzenquotienten (9 − 1)/(4 − 0) = 2 ist. Die Stelle muss nicht bekannt sein, nur ihre Existenz ist gesichert.

Question 43Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x·e^(−x) ist auf ℝ definiert. Welche Aussage über ihr Verhalten für x → ∞ ist richtig?

  1. f(x) strebt gegen −∞.
  2. f(x) strebt gegen 1.
  3. f(x) strebt gegen unendlich.
  4. f(x) strebt gegen 0, und zwar von positiven Werten aus. Correct answer.

Explanation

Für große x wächst e^(−x) schneller gegen 0, als x wächst, sodass das Produkt x·e^(−x) gegen 0 strebt. Da beide Faktoren für x > 0 positiv sind, nähert sich der Graph der x-Achse von oben.

Question 44Analysis

Die Funktion f mit f(x) = 2x³ − 9x² + 12x ist auf ℝ definiert. An welcher Stelle hat der Graph von f einen Sattelpunkt?

  1. Es gibt keinen Sattelpunkt. Correct answer.
  2. Bei x = 1,5.
  3. Bei x = 2.
  4. Bei x = 1.

Explanation

Für einen Sattelpunkt müssen f'(x) = 0 und f''(x) = 0 gleichzeitig gelten. Hier ist f'(x) = 6x² − 18x + 12 mit den Nullstellen 1 und 2, und f''(x) = 12x − 18 ist an keiner dieser Stellen null. Also existiert kein Sattelpunkt.

Question 45Analysis

Die Funktion f mit f(x) = x³ − ax hat an der Stelle x = 2 ein lokales Minimum. Welchen Wert hat der Parameter a?

  1. a = 12 Correct answer.
  2. a = 8
  3. a = 4
  4. a = 6

Explanation

Es gilt f'(x) = 3x² − a. Die notwendige Bedingung f'(2) = 0 liefert 12 − a = 0, also a = 12. Wegen f''(x) = 6x und f''(2) = 12 > 0 liegt dort tatsächlich ein Minimum vor.

Question 46Analysis

Gegeben ist das uneigentliche Integral ∫₀¹ 1/√x dx. Welcher Wert ergibt sich?

  1. 2 Correct answer.
  2. 1
  3. Das Integral divergiert.
  4. 0,5

Explanation

Eine Stammfunktion von x^(−1/2) ist 2√x. Der Grenzwert lim(b→0⁺) [2√x] von b bis 1 ergibt 2·1 − 0 = 2. Das Integral konvergiert trotz der Singularität bei x = 0.

Question 47Analysis

Eine Funktion f ist auf [0, 6] definiert, und es gilt f(x) ≥ 0 auf diesem Intervall. Die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse über [0, 6] beträgt 18. Welche Aussage folgt daraus für die Funktion F mit F(x) = ∫₀^x f(t) dt?

  1. Es gilt F(6) = 18, und F ist auf [0, 6] monoton wachsend. Correct answer.
  2. Es gilt F(6) = 0, weil F an beiden Rändern verschwindet.
  3. Es gilt F(6) = 18, und F ist auf [0, 6] monoton fallend.
  4. Es gilt F(6) = 3, denn 18/6 ist der Mittelwert.

Explanation

Nach Definition ist F(6) gerade der Wert des Integrals über [0, 6], also 18. Da f nicht negativ ist, gilt F'(x) = f(x) ≥ 0, folglich wächst F monoton.

Question 48Analysis

Die Funktion f mit f(x) = (x² − 4)/(x² − 1) ist gegeben. Welche Aussage über ihre Asymptoten ist richtig?

  1. Der Graph hat die senkrechte Asymptote x = 2 und die waagerechte Asymptote y = 1.
  2. Der Graph hat nur die senkrechten Asymptoten x = 1 und x = −1.
  3. Der Graph hat die waagerechte Asymptote y = 4.
  4. Der Graph hat die senkrechten Asymptoten x = 1 und x = −1 sowie die waagerechte Asymptote y = 1. Correct answer.

Explanation

Der Nenner wird bei x = ±1 null, während der Zähler dort nicht verschwindet, also liegen dort Polstellen. Da Zähler- und Nennergrad gleich sind, ist der Grenzwert für x → ±∞ der Quotient der Leitkoeffizienten, hier 1.

Question 49Analysis

Die Funktion f mit f(x) = sin(x) − x ist auf ℝ definiert. Welche Aussage über ihr Monotonieverhalten ist richtig?

  1. f hat bei x = 0 ein lokales Maximum.
  2. f ist auf ℝ monoton fallend und hat bei x = 0 eine Wendestelle mit waagerechter Tangente. Correct answer.
  3. f hat unendlich viele Extremstellen.
  4. f ist auf ℝ monoton wachsend.

Explanation

Es gilt f'(x) = cos(x) − 1 ≤ 0 für alle x, wobei die Ableitung nur bei Vielfachen von 2π null wird. Also fällt f monoton, und bei x = 0 ist f'(0) = 0 sowie f''(0) = −sin(0) = 0 mit f'''(0) = −1 ≠ 0, was eine Wendestelle mit waagerechter Tangente bestätigt.

Question 50Analysis

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (x − 2)² + 1. Welche Aussage beschreibt den Graphen von f vollständig richtig?

  1. Der Scheitelpunkt liegt bei S(1 | 2), die Parabel ist nach oben geöffnet.
  2. Der Scheitelpunkt liegt bei S(2 | 1), die Parabel ist nach unten geöffnet.
  3. Der Scheitelpunkt liegt bei S(2 | 1), die Parabel ist nach oben geöffnet. Correct answer.
  4. Der Scheitelpunkt liegt bei S(−2 | 1), die Parabel ist nach oben geöffnet.

Explanation

In der Scheitelpunktform f(x) = a·(x − d)² + e liest man den Scheitelpunkt direkt als S(d | e) ab. Hier ist d = 2 und e = 1, also S(2 | 1). Der Faktor a = 1 ist positiv, daher ist die Parabel nach oben geöffnet.