Lineare Algebra / Analytische Geometrie – Geraden, Ebenen, Lagebeziehungen, Winkel und Abstände
Lineare Algebra / Analytische Geometrie ist neben Analysis und Stochastik eines der drei Sachgebiete der Abiturprüfung in Sachsen-Anhalt. Im Mittelpunkt stehen das Rechnen mit Vektoren im dreidimensionalen Raum, Geraden und Ebenen in Parameter-, Normalen- und Koordinatenform, Lagebeziehungen, Winkel und Abstände sowie das Lösen linearer Gleichungssysteme. Viele Aufgaben sind reine Rechenwege mit klar prüfbaren Teilschritten – hier zählt Sorgfalt mehr als Ideenreichtum.
Geraden und Ebenen
- Gerade: x = a + t·u mit Stützvektor a und Richtungsvektor u; Ebene in Parameterform mit zwei nicht kollinearen Spannvektoren u und v.
- Normalenvektor n = u × v (Kreuzprodukt); Koordinatenform n1x1 + n2x2 + n3x3 = d mit d = n·a.
- Lagebeziehung Gerade–Ebene: Ist n·u ≠ 0, gibt es genau einen Schnittpunkt; dazu die Parametergleichung in die Koordinatenform einsetzen. Ist n·u = 0 und der Stützpunkt nicht in E, verläuft die Gerade parallel.
- Lagebeziehung Gerade–Gerade: zuerst Richtungen auf Kollinearität prüfen, dann das Gleichungssystem lösen. Kein Schnittpunkt trotz nicht kollinearer Richtungen bedeutet windschief.
Winkel und Abstände
- Winkel zwischen zwei Vektoren: cos φ = (u·v)/(|u|·|v|).
- Winkel zwischen Gerade und Ebene: sin φ = |n·u|/(|n|·|u|) – nicht der Kosinus.
- Abstand Punkt–Ebene: d = |(p − a)·n| / |n|.
- Abstand windschiefer Geraden über eine Hilfsebene, die eine Gerade enthält und zur anderen parallel ist.
Durchgerechnetes Beispiel
Gerade g: x = (1 | 2 | 3) + t·(2 | −1 | 2), Ebene E: 2x1 + x2 − 2x3 = 6, also n = (2 | 1 | −2). Es gilt n·u = 4 − 1 − 4 = −1 ≠ 0, g durchstößt E also in genau einem Punkt. Einsetzen: 2(1 + 2t) + (2 − t) − 2(3 + 2t) = −2 − t; gleich 6 gesetzt ergibt t = −8. Schnittpunkt S(−15 | 10 | −13). Probe: 2·(−15) + 10 − 2·(−13) = 6. Schnittwinkel: sin φ = |−1|/(3·3) = 1/9, also φ ≈ 6,4°.
Typische Fehlerquellen
- Abstandsformel mit nicht normiertem Normalenvektor im Nenner verwenden.
- Kreuzprodukt mit vertauschter Reihenfolge bilden und damit das Vorzeichen von n kippen.
- Gerade–Gerade: „kein Schnittpunkt“ sofort als windschief deuten, ohne Parallelität geprüft zu haben.
- Beim Schnittwinkel Gerade–Ebene den Kosinus statt des Sinus nehmen.
- Bei Spiegelungen den Lotfußpunkt F berechnen, aber P' = P + 2·(F − P) ohne den Faktor 2 bilden.