Stochastik – Baumdiagramme, Binomialverteilung und Hypothesentests
Die Stochastik ist das dritte Sachgebiet der Abiturprüfung in Sachsen-Anhalt. Geprüft werden Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln, bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit, die Binomialverteilung mit Erwartungswert und Standardabweichung sowie das Testen von Hypothesen mit den beiden Fehlerarten. Die Aufgaben kommen fast immer aus Sachkontexten wie Qualitätskontrolle, Urnenmodell oder medizinischen Tests; gefragt ist zuerst die Übersetzung des Textes in ein Modell und erst danach das Rechnen.
Grundbegriffe und Baumdiagramme
- Gegenereignis: P(Ā) = 1 − P(A); „mindestens ein Treffer“ läuft immer über das Gegenereignis.
- Pfadregeln: entlang eines Pfades multiplizieren, über verschiedene Pfade addieren.
- Vierfeldertafel für zwei Merkmale; bedingte Wahrscheinlichkeit P_B(A) = P(A ∩ B)/P(B).
- Unabhängigkeit genau dann, wenn P(A ∩ B) = P(A)·P(B).
Binomialverteilung
- Bernoulli-Kette: n unabhängige Versuche mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit p, Zufallsgröße X ~ B(n; p).
- P(X = k) = C(n, k)·p^k·(1 − p)^(n − k); kumulierte Werte über Tabelle oder Rechner.
- Erwartungswert μ = n·p, Standardabweichung σ = √(n·p·(1 − p)).
- Sigma-Regeln liefern Näherungen und sind erst ab σ > 3 brauchbar (Laplace-Bedingung).
Testen von Hypothesen
- H0 und H1 festlegen; der Ablehnungsbereich folgt der Richtung von H1, bei zweiseitigem Test wird α halbiert.
- Fehler 1. Art: H0 wird verworfen, obwohl sie wahr ist; seine Wahrscheinlichkeit ist unter p = p0 berechenbar und höchstens α.
- Fehler 2. Art: H0 wird beibehalten, obwohl H1 gilt; er hängt vom unbekannten wahren p aus H1 ab.
Durchgerechnetes Beispiel
Laut Hersteller sind 40 % der Kugeln rot (H0: p = 0,4), vermutet wird ein höherer Anteil. Es wird 100-mal mit Zurücklegen gezogen, X zählt die roten Kugeln. Unter H0: μ = 100·0,4 = 40 und σ = √(100·0,4·0,6) = √24 ≈ 4,90. Einseitiger Test mit α = 0,05: kritischer Wert μ + 1,64σ ≈ 40 + 8,03 = 48,03, also Ablehnung von H0 für X ≥ 49. Probe: P(X ≥ 49 | p = 0,4) ≈ 0,041 ≤ 0,05. Werden 52 rote Kugeln gezogen, wird H0 verworfen.
Typische Fehlerquellen
- Bedingte Wahrscheinlichkeiten vertauschen: im Nenner steht immer die Bedingung, P_B(A) ≠ P_A(B).
- Ziehen ohne Zurücklegen mit der Binomialverteilung rechnen statt hypergeometrisch.
- Den Ablehnungsbereich auf der falschen Seite anlegen, weil H1 falsch formuliert wurde.
- P(X ≥ k) mit P(X ≤ k) statt mit 1 − P(X ≤ k − 1) berechnen.
- Sigma-Ergebnisse als exakt ausgeben, obwohl nur eine Näherung vorliegt.