Sistema de producción con un parámetro en el consumo de montaje
Una cooperativa de iluminación fabrica tres modelos de lámparas, L1, L2 y L3, con tres recursos: aluminio, cable y tiempo de montaje. Cada lote de L1 consume 2 unidades de aluminio, 1 de cable y 1 hora; cada lote de L2 consume 1, 3 y 1; cada lote de L3 consume 1, 0 y a horas, donde a es un parámetro que depende del proveedor de la pieza variable. Esta semana hay disponibles 23 unidades de aluminio, 30 de cable y 20 horas de montaje. La dirección quiere producir exactamente esos recursos, sin sobrantes, para un pedido urgente. Con a=2, el encargado de taller propone fabricar 6 lotes de L1, 8 de L2 y 3 de L3. Además, el proveedor avisa de que el valor de a puede cambiar y pide saber si existe algún valor que deje el sistema sin solución única, y si en ese caso el pedido sería al menos factible. No se permite producir fracciones de lote. La matriz de consumos se organiza por filas de recursos y columnas de modelos.
1. Plantea el sistema lineal y comprueba si la propuesta (6,8,3) agota exactamente los recursos con a=2. ¿Es la única solución?
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El sistema es A·(x,y,z)^T=b con A=[[2,1,1],[1,3,0],[1,1,2]] y b=(23,30,20). det(A)=2(6)−1(2)+1(1−3)=12−2−2=8≠0, luego hay solución única. Resolviendo: x+3y=30 ⇒ x=30−3y; en la tercera, 30−3y+y+2z=20 ⇒ z=y−5; en la primera, 2(30−3y)+y+(y−5)=23 ⇒ 55−4y=23 ⇒ y=8, x=6, z=3. La propuesta agota los recursos y es la única solución con a=2. Interpretación: no hay holgura; cualquier error de inventario invalida el plan.
2. Determina para qué valor de a el sistema no tiene solución única y clasifícalo para ese valor con los recursos dados.
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det(A)=2(3a)−1(a)+1(1−3)=6a−a−2=5a−2. Se anula en a=2/5. Para ese valor, las dos primeras filas son independientes, luego rango(A)=2. El menor de la matriz ampliada formado por las filas 1,2,3 y columnas 1,2,4 es det([[2,1,23],[1,3,30],[1,1,20]])=2(60−30)−1(20−30)+23(1−3)=60+10−46=24≠0, así que rango(A|b)=3. Por Rouché-Frobenius, el sistema es incompatible: no existe plan que agote exactamente los recursos. No es un caso de infinitas soluciones; el proveedor debe evitar a=2/5 o la dirección debe aceptar sobrantes o faltantes.