Plan semanal de baldosas con precio sombra y contrato adicional
Un taller de cerámica produce lotes de dos tipos de baldosas, pequeñas (x) y grandes (y). Cada lote pequeño requiere 2 kg de arcilla y 4 horas de horno; cada lote grande, 3 kg y 2 horas. El proveedor entrega 120 kg de arcilla y el horno admite 160 horas por semana. Por acuerdos comerciales, no se pueden producir más de 60 lotes en total. El beneficio es de 30 € por lote pequeño y 40 € por lote grande. El taller quiere decidir el plan semanal que maximiza el beneficio. Además, un cliente ha ofrecido un contrato que obligaría a producir al menos 25 lotes grandes, con el mismo beneficio unitario, y la gerente duda si aceptarlo. Los lotes pueden fraccionarse en la producción semanal, pero el contrato exige lotes completos. La gerente también ha recibido una oferta de horas extra de horno a 2 €/h y quiere saber si compensa.
1. Formula el problema de programación lineal, resuélvelo y explica cuál es el plan óptimo y su beneficio.
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Modelo: max 30x+40y sujeto a 2x+3y≤120, 4x+2y≤160, x+y≤60, x,y≥0. Vértices: (0,0), (0,40), (40,0) y la intersección de arcilla y horno: 2x+3y=120, 4x+2y=160 ⇒ x=30, y=20; cumple x+y=50≤60. Beneficios: 0, 1600, 1200 y 1700. El óptimo es (30,20), con 1700 €/semana. La restricción x+y≤60 no está activa: sobran 10 lotes de capacidad comercial. No conviene desplazarse a (0,40) aunque use más mano de obra, porque el beneficio baja a 1600 €.
2. Interpreta el precio sombra de la hora de horno y decide si conviene pagar 2 €/h extra por hasta 10 horas adicionales.
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En el óptimo, arcilla y horno están activos y x+y<60, luego el dual tiene w=0 para la restricción comercial. Planteo 2u+4v=30 y 3u+2v=40; resolviendo, u=12.5 y v=1.25. El precio sombra del horno es 1.25 €/h: una hora extra aumenta el beneficio en 1.25 €, no en 2 €. Como el coste extra es 2 €/h, rechazaría la oferta. El precio sombra es válido mientras el vértice óptimo siga en la intersección arcilla-horno y no entre x+y≤60; esto ocurre hasta H=240 h de horno, muy por encima de las 170 h que se usarían con 10 horas extra. Por tanto, la conclusión no cambia.
3. Si se acepta el contrato y≥25, recalcula el óptimo y compara con 1700 €. ¿Recomiendas aceptar?
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Con y≥25, el óptimo se mueve al punto donde y=25 corta la restricción de arcilla: 2x+3(25)=120 ⇒ x=22.5. El horno usa 4(22.5)+50=140≤160 y el total es 47.5≤60, factible. Beneficio=30(22.5)+40(25)=675+1000=1675 €, 25 € menos que 1700. Si el contrato no aporta ningún pago fijo adicional, no compensa económicamente; solo aceptaría si la indemnización o el valor estratégico supera 25 €/semana. Si x debe ser entero, x=22 y el beneficio baja a 1660 €, empeorando la comparación.