Empalme continuo y derivable en el enfriamiento de un reactor
Una planta de tratamiento de agua calienta un reactor. La temperatura T(t), en °C, durante las primeras 8 horas sigue un modelo definido a trozos: para 0≤t≤4, T(t)=20+at−0.5t²; para 4<t≤8, T(t)=b+8/(t−2), donde a y b son constantes de calibración. El sistema de control exige que la temperatura sea continua y derivable en t=4 para evitar saltos bruscos. El operario observa que con ciertos valores la gráfica presenta un pico o un cambio brusco de pendiente, y quiere ajustar a y b. Además, el protocolo de seguridad exige que la velocidad de enfriamiento no supere 1.5 °C/h después de t=4; si lo hace, se enciende una alarma. La empresa necesita saber cuándo se alcanza la temperatura máxima, en qué intervalo posterior a t=4 se supera el umbral y si a las 5 h la alarma debería estar encendida.
1. Determina a y b para que T sea continua y derivable en t=4.
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Continuidad en t=4: límite izquierdo 20+4a−0.5(16)=12+4a; derecho b+8/(4−2)=b+4. Igualando, b=8+4a. Derivabilidad: derivada izquierda a−t, en t=4 vale a−4; derivada derecha −8/(t−2)², en t=4 vale −2. Igualando, a=2; entonces b=8+8=16. Así T(t)=20+2t−0.5t² en [0,4] y T(t)=16+8/(t−2) en (4,8]. La función empalma sin salto y con la misma pendiente, que era el requisito del control.
2. Halla la temperatura máxima y el instante en que se alcanza, justificando que es un máximo global.
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En [0,4], T'(t)=2−t; se anula en t=2, cambia de + a −, luego es máximo local y global de ese tramo: T(2)=20+4−2=22 °C. En (4,8], T'(t)=−8/(t−2)²<0, así que T decrece desde 20 °C (límite en 4+) hasta 16+8/6≈17.33 °C en t=8. Por tanto, el máximo global es 22 °C a las 2 h. No hay que resolver T'=0 en el segundo tramo: no se anula y su máximo está en el extremo abierto.
3. Determina en qué intervalo posterior a t=4 se supera la velocidad de enfriamiento de 1.5 °C/h y si a las 5 h la alarma debería encenderse.
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Para t>4, la velocidad de enfriamiento es |T'(t)|=8/(t−2)². A las 5 h vale 8/9≈0.889 °C/h, menor que 1.5, luego la alarma no debe encenderse. La condición 8/(t−2)²>1.5 equivale a (t−2)²<16/3, es decir, t−2<4/√3≈2.309, o sea 4<t<4.309. En ese intervalo inicial la alarma sí debería encenderse; después la velocidad cae por debajo del umbral. La conclusión es coherente con la gráfica: el enfriamiento es más rápido justo después de t=4 y se va suavizando.