Depósito con caudales de entrada y salida y riesgo de desbordamiento
Un depósito industrial recibe agua de una conducción y la pierde por una válvula. Durante 8 horas, el caudal de entrada es R(t)=10−t m³/h y el de salida S(t)=0.2t² m³/h, con t en horas desde el inicio. Al comenzar, el depósito contiene 40 m³ y su capacidad máxima es 70 m³. El jefe de planta quiere saber si en algún momento se desbordará, cuánta agua entra neta en las primeras 5 horas y cuál es el volumen final a las 8 horas. Además, el seguro exige calcular el área encerrada entre las dos curvas de caudal y explicar su significado físico, no solo el valor numérico. La válvula no se puede regular durante el periodo analizado y no hay otros aportes ni salidas.
1. Calcula el volumen neto acumulado en las primeras 5 horas y decide si el depósito se desborda.
Read the worked answer
El caudal neto es N(t)=R(t)−S(t)=10−t−0.2t². El volumen neto acumulado en 5 h es ∫0^5 N dt=[10t−0.5t²−(0.2/3)t³]0^5=50−12.5−8.333=29.167 m³. El volumen sería 40+29.167=69.167 m³, por debajo de 70 m³, pero con solo 0.833 m³ de margen. Como N(t)>0 antes de t=5 y N(5)=0, ese es el máximo; no se desborda si no hay otro aporte. La conclusión depende del margen: un pequeño error en R o S podría hacer que se superara la capacidad.
2. Calcula el volumen final a las 8 horas y compáralo con el máximo alcanzado.
Read the worked answer
En 8 h, ∫0^8 N dt=[10t−0.5t²−(0.2/3)t³]0^8=80−32−34.133=13.867 m³. El volumen final es 40+13.867=53.867 m³. La diferencia con el máximo es 29.167−13.867=15.3 m³, que es el agua neta perdida entre t=5 y t=8. El depósito no vuelve al nivel inicial: termina 13.867 m³ por encima de los 40 m³. Interpretación: la entrada domina al principio, pero la salida crece y acaba imponiéndose.
3. Calcula el área entre las curvas R(t) y S(t) e interpreta el resultado con signo y en valor absoluto.
Read the worked answer
El área entre curvas es ∫0^8 |R−S| dt. Como R−S cambia de signo en t=5, se separa: ∫0^5 N dt=29.167 y ∫5^8 (−N) dt=15.3; área absoluta=44.467 m²·h (unidades de volumen). El área con signo, 13.867, es el cambio neto de volumen; el área absoluta mide la magnitud total del desequilibrio entre entrada y salida. Interpretación: el depósito gana agua durante 5 h y luego la pierde, pero no se vacía; el área no es el volumen total que ha pasado por el depósito, sino la integral de la diferencia de caudales.