Defectos en dos máquinas, Bayes y contraste de proporción
Una fábrica de componentes electrónicos produce en dos máquinas, A y B. La máquina A fabrica el 60% de la producción diaria y la B el 40%. El historial indica que A produce un 3% de piezas defectuosas y B un 6%. En una auditoría se elige una pieza al azar y resulta defectuosa. Por otro lado, en una muestra aleatoria de 250 piezas del turno completo se han contado 20 defectuosas; la dirección afirma que la proporción global de defectuosas no supera el 5%. El jefe de calidad quiere saber si la muestra respalda esa afirmación, con un intervalo de confianza del 95%, y cuántas piezas habría que muestrear para estimar la proporción con un margen de ±2% al 95%. También le interesa saber si el hecho de ser defectuosa es independiente de la máquina.
1. Si una pieza elegida al azar es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de B? ¿Son independientes los sucesos 'defectuosa' y 'máquina'?
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P(A)=0.6, P(B)=0.4, P(D|A)=0.03, P(D|B)=0.06. P(D)=0.6(0.03)+0.4(0.06)=0.018+0.024=0.042. Bayes: P(B|D)=0.024/0.042≈0.5714. Aunque B fabrica menos piezas, aporta algo más de la mitad de las defectuosas porque su tasa es el doble. No hay independencia: P(D|A)=0.03≠0.06=P(D|B); saber la máquina cambia la probabilidad de defecto. Si se comparara P(D) con P(D|B), también difieren (0.042 frente a 0.06).
2. Construye un intervalo de confianza del 95% para la proporción de defectuosas y valora la afirmación de que no supera el 5%.
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p̂=20/250=0.08. Error estándar estimado: √(0.08·0.92/250)=√0.0002944≈0.01716. IC 95%: 0.08±1.96(0.01716)=0.08±0.0336, es decir (0.0464, 0.1136). El 5% queda dentro del intervalo por muy poco (0.0464<0.05), así que a dos colas no se rechaza p=0.05. Pero si la afirmación se contrasta como H0:p≤0.05 frente a H1:p>0.05, z=(0.08−0.05)/√(0.05·0.95/250)=0.03/0.01378≈2.18, p≈0.0147: se rechaza al 5%. La muestra pone en duda la afirmación, aunque la evidencia no es abrumadora.
3. Calcula el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción con un margen de ±2% al 95% y comenta la elección entre usar el dato observado o el caso conservador.
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Con margen d=0.02 y 95%: n=(z/d)² p̂(1−p̂)=(1.96/0.02)²(0.08)(0.92)=9604·0.0736≈706.9, luego al menos 707 piezas. Si se quiere evitar depender del 8% observado y usar el caso más desfavorable p=0.5, n=(1.96/0.02)²·0.25=2401. La diferencia es grande: 707 es aceptable si el pilotaje es representativo; 2401 es la opción conservadora. Para la auditoría, elegiría 707 solo si se mantiene el supuesto p≈0.08; si no, 2401.