Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Este bloque de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (PAU de Aragón) evalúa el manejo algebraico de matrices -suma, producto, traspuesta, potencias e inversa-, el cálculo de rangos y determinantes, y la resolución y discusión de sistemas lineales, incluidos los que dependen de un parámetro y los que se plantean como ecuación matricial.
Reglas que hay que dominar
- El producto no es conmutativo: (A+B)² = A² + AB + BA + B², nunca A² + 2AB + B².
- Traspuesta e inversa invierten el orden: (AB)^T = B^T A^T y (AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1).
- A^(-1) = adj(A)^T/|A| solo si |A| ≠ 0; alternativa por Gauss-Jordan: (A|I) → (I|A^(-1)).
- Determinantes: |AB| = |A|·|B|, |A^T| = |A|, |kA| = k^n|A| en orden n, |A^(-1)| = 1/|A|.
- Rango: filas no nulas al escalonar; rang(A) = rang(A^T) ≤ mín(m, n).
Discusión de sistemas
Con AX = B y A* la matriz ampliada, Rouché-Fontené distingue tres casos: rang(A) < rang(A*) → incompatible; rang(A) = rang(A*) = n.º de incógnitas → compatible determinado; rang(A) = rang(A*) = r < n → compatible indeterminado con n − r parámetros. Si |A| ≠ 0 se resuelve por Cramer (x_i = |A_i|/|A|) o por Gauss. Un sistema homogéneo (B = 0) es siempre compatible y solo es determinado si |A| ≠ 0.
Ejemplo resuelto
Sean A = [[1,2],[1,3]] y B = [[1,1],[1,0]]. Resolver AX = 2B. |A| = 3 − 2 = 1 ≠ 0, luego A^(-1) = [[3,−2],[−1,1]]. Como A multiplica por la izquierda, X = 2·A^(-1)B. Calculamos A^(-1)B = [[3−2, 3+0],[−1+1, −1+0]] = [[1,3],[0,−1]]. Por tanto X = 2·[[1,3],[0,−1]] = [[2,6],[0,−2]]. Comprobación: A·X = [[2+0, 6−4],[2+0, 6−6]] = [[2,2],[2,0]] = 2B. Correcto.
Errores que restan puntos
- Despejar X = BA^(-1) cuando la ecuación es AX = B: el orden importa.
- Declarar «incompatible» en cuanto |A| = 0 sin comparar rangos; puede ser indeterminado.
- Al discutir con parámetro, olvidar los valores que anulan determinantes de menores de orden inferior.
- Dar la solución de un sistema indeterminado sin parametrizar o sin indicar qué variable es libre.
- No comprobar la solución en las ecuaciones originales.