Programación lineal
La programación lineal en la PAU de Aragón aparece como un problema contextualizado (producción, transporte, dietas, publicidad) en el que hay que formular un modelo con dos variables, representar la región factible y optimizar una función objetivo lineal, indicando el valor óptimo y su interpretación.
Planteamiento del modelo
- Definir las variables con sus unidades: «x = número de lotes del producto A».
- Escribir la función objetivo z = ax + by (maximizar beneficio, minimizar coste).
- Traducir el enunciado a inecuaciones: «no superar» → ≤, «al menos» → ≥, «como mínimo» → ≥.
- Añadir las restricciones de no negatividad x ≥ 0, y ≥ 0 cuando proceda.
Resolución gráfica
- Dibujar cada recta ax + by = c con dos puntos y decidir el semiplano probando el origen (0,0) si no pertenece a la recta.
- La región factible es la intersección de todos los semiplanos; si es vacía, el problema es incompatible.
- Los vértices se obtienen cortando pares de rectas y comprobando que el punto cumple todas las restricciones.
- Teorema fundamental: si el óptimo es finito, se alcanza en un vértice. Se evalúa z en cada vértice y se elige el mayor o menor valor.
- Si la región es no acotada, hay que verificar que z no crece indefinidamente en la dirección de apertura.
Ejemplo resuelto
Maximizar z = 2x + 3y con x + y ≤ 4, x + 2y ≤ 6, x, y ≥ 0. Vértices: (0,0) → z = 0; (4,0) → z = 8; (0,3) → z = 9; intersección de x + y = 4 y x + 2y = 6 → y = 2, x = 2 → (2,2) → z = 4 + 6 = 10. El máximo es z = 10 en (2,2), y lo alcanza agotando ambas restricciones.
Errores que restan puntos
- Tomar como vértice un corte de rectas que no cumple el resto de restricciones.
- Cambiar el sentido de una inecuación al multiplicar por un número negativo.
- Suponer que existe óptimo en una región no acotada sin comprobar la dirección de crecimiento.
- No detectar óptimos múltiples cuando la recta objetivo es paralela a un lado: todo el segmento es óptimo.
- Dar solo el valor de z sin indicar los valores de x e y, o sin unidades.