Límites, continuidad y diferenciación
Este bloque evalúa el cálculo de límites con indeterminaciones, el estudio de la continuidad y derivabilidad de funciones definidas a trozos con parámetros, las asíntotas y las aplicaciones de la derivada: recta tangente, monotonía, extremos y lectura marginal de funciones económicas.
Límites y asíntotas
- Indeterminaciones habituales: 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0·∞ y 1^∞.
- En cocientes de polinomios en el infinito, compara grados: iguales → cociente de coeficientes líderes; numerador menor → 0; numerador mayor → ±∞.
- La regla de L'Hôpital solo se aplica a 0/0 y ∞/∞, nunca a ∞ − ∞ o 0·∞ sin transformar antes en cociente.
- Asíntota vertical en x = a si el límite lateral es infinito; horizontal si el límite en ±∞ es finito; oblicua y = mx + n con m = lím f(x)/x y n = lím (f(x) − mx), solo si no hay horizontal.
Continuidad y derivabilidad
- f es continua en a si existe f(a), existe el límite y coinciden; equivale a que los límites laterales sean iguales entre sí y a f(a).
- En funciones a trozos, la continuidad en el punto de empalme da una ecuación y la igualdad de derivadas laterales da otra.
- Derivabilidad implica continuidad, pero no al revés.
Aplicaciones de la derivada
- Recta tangente: y − f(a) = f'(a)(x − a).
- f' > 0 → creciente; hay extremo donde f' cambia de signo, no basta con f'(a) = 0.
- f'' > 0 → convexa; punto de inflexión donde f'' cambia de signo.
- En contexto económico, la función marginal es la derivada: el beneficio se maximiza cuando ingreso marginal = coste marginal.
Ejemplo resuelto
Hallar a y b para que f(x) = e^(x−1) + a si x ≤ 1 y f(x) = b/x² si x > 1 sea continua y derivable en x = 1. Continuidad: límite por la izquierda = e⁰ + a = 1 + a; por la derecha = b; f(1) = 1 + a. Luego b = 1 + a. Derivadas: por la izquierda, f'(x) = e^(x−1) → 1; por la derecha, f'(x) = −2b/x³ → −2b. Igualando, −2b = 1 → b = −1/2 y a = −3/2.
Errores que restan puntos
- Aplicar L'Hôpital a indeterminaciones que no son cociente.
- Confundir continuidad con derivabilidad, o olvidar que la continuidad es condición previa.
- Creer que f'(a) = 0 garantiza extremo (f(x) = x³ en 0).
- Perder la regla de la cadena en e^(u), ln(u) o √u.
- Calcular asíntota oblicua cuando ya existe horizontal.