Integración y áreas
El bloque de integración de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II pide calcular primitivas inmediatas y por sustitución, aplicar la regla de Barrow, medir áreas entre curvas y, en contexto económico, recuperar una magnitud total a partir de su función marginal.
Primitivas inmediatas
- ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C para n ≠ −1; ∫(1/x) dx = ln|x| + C.
- ∫e^x dx = e^x + C; ∫a^x dx = a^x/ln a + C; ∫k dx = kx + C.
- Linealidad: la integral de una suma es la suma de integrales y las constantes salen fuera.
- Sustitución: si aparece f'(x)·g(f(x)), se toma t = f(x), dt = f'(x) dx.
- Racionales sencillas: A/(x − a) se integra como A·ln|x − a|.
Integral definida y áreas
- Regla de Barrow: ∫ de a a b de f(x) dx = F(b) − F(a), con F una primitiva cualquiera.
- Área entre dos curvas: se buscan los cortes f(x) = g(x), que dan los límites, y se integra la diferencia en valor absoluto: ∫|f − g|.
- Si las curvas se cruzan dentro del intervalo, hay que partir la integral en los puntos de corte y sumar los valores absolutos.
- Una región bajo el eje X produce integral negativa: el área es su valor absoluto.
- En economía, si se conoce el coste marginal, el coste total entre dos niveles es la integral definida de esa función.
Ejemplo resuelto
Área del recinto limitado por y = x² y y = x + 2. Cortes: x² = x + 2 → x² − x − 2 = 0 → x = 2 y x = −1. En (−1, 2) la recta va por encima (en x = 0: 2 ≥ 0), así que A = ∫ de −1 a 2 de (x + 2 − x²) dx = [x²/2 + 2x − x³/3] de −1 a 2. F(2) = 2 + 4 − 8/3 = 10/3; F(−1) = 1/2 − 2 + 1/3 = −7/6. A = 10/3 − (−7/6) = 20/6 + 7/6 = 27/6 = 4,5 u².
Errores que restan puntos
- Omitir la constante C en primitivas indefinidas.
- Restar restando mal en Barrow: F(b) − F(a) con paréntesis, no «F(b) − F(a)» cambiando signos a mano.
- No comprobar qué curva es la superior en cada tramo.
- Olvidar dividir la integral cuando las curvas se cruzan.
- No ajustar los límites al hacer un cambio de variable, o no deshacer la sustitución.