Probabilidad
La probabilidad en la PAU de Aragón se centra en la probabilidad condicionada, la independencia, el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes, con enunciados que suelen resolverse también mediante tablas de contingencia o diagramas de árbol.
Reglas básicas
- Laplace: P(A) = casos favorables / casos posibles, solo con sucesos equiprobables.
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); si A y B son incompatibles, P(A ∩ B) = 0.
- P(A complementario) = 1 − P(A).
- Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), con P(B) > 0.
- Regla del producto: P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A).
Independencia y sistemas completos
- A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A)·P(B), equivalentemente P(A|B) = P(A).
- Incompatibles e independientes no son lo mismo: dos sucesos incompatibles con probabilidad positiva son dependientes.
- Teorema de la probabilidad total: si A₁, …, A_n forman un sistema completo, P(B) = Σ P(A_i)·P(B|A_i).
- Teorema de Bayes: P(A_i|B) = P(A_i)·P(B|A_i) / P(B), invirtiendo la condicional.
Ejemplo resuelto
Una empresa produce el 60 % de las piezas en la máquina M1, con un 2 % de defectuosas, y el 40 % en M2, con un 5 % de defectuosas. Se toma una pieza al azar. P(D) = 0,6·0,02 + 0,4·0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032. Si la pieza resulta defectuosa, la probabilidad de que venga de M2 es P(M2|D) = 0,020/0,032 = 0,625. Análogamente P(M1|D) = 0,012/0,032 = 0,375; ambas suman 1, como debe ocurrir.
Errores que restan puntos
- Confundir P(A|B) con P(B|A): son distintas salvo casos particulares.
- Suponer independencia porque el enunciado no la menciona.
- Creer que sucesos incompatibles son independientes.
- No definir los sucesos ni la partición antes de aplicar la probabilidad total.
- En tablas de contingencia, dividir por el total general cuando la condición restringe a una fila o columna.
- Confundir extracciones con y sin reemplazamiento al contar casos.