Inferencia estadística
Este bloque evalúa el paso de la muestra a la población: aproximación de la binomial por la normal, distribución de la media y de la proporción muestral, construcción e interpretación de intervalos de confianza y cálculo del tamaño de muestra necesario para un error máximo dado.
Distribuciones de partida
- Binomial B(n, p): media np, desviación típica √(np(1 − p)); P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1 − p)^(n−k).
- Normal: se tipifica con z = (x − μ)/σ y se consulta la tabla de la normal estándar.
- Aproximación binomial → normal si np ≥ 5 y n(1 − p) ≥ 5, aplicando corrección por continuidad de ±0,5 (P(X ≤ k) ≈ P(Z ≤ (k + 0,5 − np)/√(np(1 − p)))).
Intervalos de confianza
- Media con σ conocida: x̄ ± z_(α/2)·σ/√n. Valores habituales: 90 % → 1,645; 95 % → 1,96; 99 % → 2,575.
- Proporción: p̂ ± z_(α/2)·√(p̂(1 − p̂)/n).
- Error máximo admisible: E = z_(α/2)·σ/√n.
- Tamaño de muestra: n = (z_(α/2)·σ/E)², redondeando siempre hacia arriba; si no hay estimación previa de p, se toma p = 0,5, el caso más desfavorable.
Ejemplo resuelto
En una muestra de 100 hogares, el gasto medio es 240 € con σ = 40 €. Intervalo al 95 %: E = 1,96·40/√100 = 1,96·4 = 7,84 → (232,16; 247,84). Si se quiere un error máximo de 5 €: n = (1,96·40/5)² = (15,68)² = 245,86, luego n = 246 hogares.
Errores que restan puntos
- Decir que «hay un 95 % de probabilidad de que μ esté en este intervalo»: el nivel de confianza describe el método, no este intervalo concreto.
- Dividir por n en lugar de por √n al calcular el error típico.
- Usar 1,96 para un intervalo del 90 % o 1,645 para el 95 %.
- Redondear el tamaño muestral por defecto, incumpliendo el error exigido.
- Omitir la corrección por continuidad al aproximar la binomial.
- Emplear p = 0,5 cuando el enunciado ya proporciona una estimación previa de la proporción.