Producción semanal en una cooperativa de repostería
Una cooperativa de repostería elabora tres lotes de producto, A, B y C. Cada lote A consume 2 kg de harina, 1 kg de azúcar y 3 horas de horno; cada lote B consume 1 kg de harina, 2 kg de azúcar y 1 hora de horno; cada lote C consume 1 kg de harina, 1 kg de azúcar y 2 horas de horno. Para la próxima semana la cooperativa dispone de 160 kg de harina, 150 kg de azúcar y 250 horas de horno. La gerencia quiere planificar la producción semanal de forma que se utilicen exactamente todos los recursos, porque los excedentes no se pueden almacenar. Sea x el número de lotes A, y el número de lotes B y z el número de lotes C. Además, un cliente habitual ha solicitado 10 lotes adicionales de C para la misma semana; la cooperativa podría reducir la producción de A, manteniendo fija la de B, si ello fuera necesario. La decisión debe basarse en las cantidades y en la disponibilidad real de recursos, no en una estimación aproximada.
1. Plantea el sistema de ecuaciones que corresponde a utilizar exactamente los recursos y resuélvelo. Interpreta la solución en el contexto de la cooperativa.
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Sea x = lotes A, y = lotes B, z = lotes C. Usar exactamente todos los recursos exige:
- Harina: 2x + y + z = 160
- Azúcar: x + 2y + z = 150
- Horno: 3x + y + 2z = 250
Restando la segunda ecuación de la primera se obtiene x − y = 10, es decir, x = y + 10. Sustituyendo en la primera: 2(y + 10) + y + z = 160, luego 3y + z = 140. Sustituyendo en la tercera: 3(y + 10) + y + 2z = 250, luego 2y + z = 110. Restando estas dos últimas: y = 30. Entonces z = 140 − 90 = 50 y x = 40.
La solución es x = 40, y = 30, z = 50. La cooperativa debe producir 40 lotes A, 30 lotes B y 50 lotes C. Con esas cantidades se consumen exactamente 160 kg de harina, 150 kg de azúcar y 250 horas de horno. Al ser cantidades no negativas y enteras, el plan es factible y no deja excedentes.
2. Valora si es posible atender los 10 lotes adicionales de C reduciendo la producción de A y manteniendo B = 30. Indica cuántos lotes A habría que reducir como mínimo y qué recursos quedarían sin utilizar.
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Si se atienden 10 lotes adicionales de C, entonces z = 60 y se mantiene y = 30. Sea x la nueva producción de A. Las restricciones de recursos son:
- Harina: 2x + 30 + 60 ≤ 160, luego x ≤ 35.
- Azúcar: x + 60 + 60 ≤ 150, luego x ≤ 30.
- Horno: 3x + 30 + 120 ≤ 250, luego x ≤ 33,33.
La más restrictiva es x ≤ 30. Como inicialmente x = 40, hay que reducir la producción de A al menos en 10 lotes. Si se toma x = 30, se consumen 150 kg de harina, 150 kg de azúcar y 240 horas de horno. Quedan sin utilizar 10 kg de harina y 10 horas de horno, mientras que el azúcar se agota exactamente. Si solo se redujera A en 9 lotes, x = 31, el azúcar necesario sería 31 + 120 = 151 kg, superior a la disponibilidad. Por tanto, la reducción mínima es de 10 lotes A.