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Castilla-La Mancha PAU Applied Mathematics for Social Sciences II (Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II - UCLM 2026) study materials
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Castilla-La Mancha PAU Applied Mathematics for Social Sciences II (Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II - UCLM 2026) practice questions

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Question 1Matrices and systems of linear equations

Dadas las matrices A de orden 2×3 y B de orden 3×4, ¿cuál es el orden de la matriz producto A·B?

  1. 3×3
  2. 4×2
  3. No se puede multiplicar
  4. 2×4 Correct answer.

Explanation

El producto A·B es posible porque el número de columnas de A (3) coincide con el número de filas de B (3). La matriz resultante tiene tantas filas como A y tantas columnas como B, es decir, orden 2×4.

Question 2Matrices and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada. ¿Qué condición debe cumplir A para que exista su inversa A⁻¹?

  1. Que su determinante sea distinto de cero Correct answer.
  2. Que todos sus elementos sean no nulos
  3. Que su traza sea igual a cero
  4. Que sea simétrica

Explanation

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es no nulo, es decir, si es regular. El determinante mide si las filas son linealmente independientes, condición necesaria y suficiente para la existencia de inversa.

Question 3Matrices and systems of linear equations

En el sistema de ecuaciones lineales con matriz de coeficientes A y matriz ampliada A*, el teorema de Rouché-Frobenius afirma que el sistema es compatible determinado cuando:

  1. rango(A) = rango(A*) sin más condiciones
  2. rango(A) < rango(A*)
  3. rango(A) = rango(A*) = número de incógnitas Correct answer.
  4. rango(A) = rango(A*) < número de incógnitas

Explanation

El sistema es compatible cuando ambos rangos coinciden, y es determinado cuando ese rango común iguala el número de incógnitas. Si coinciden pero son menores que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.

Question 4Matrices and systems of linear equations

¿Cuál es el elemento de la posición fila 2, columna 1 de la matriz M = [[3, -1], [5, 4]]?

  1. 5 Correct answer.
  2. -1
  3. 4
  4. 3

Explanation

La notación m₂₁ indica el elemento situado en la segunda fila y primera columna. En la matriz dada, la segunda fila es (5, 4) y su primer elemento es 5.

Question 5Matrices and systems of linear equations

Dada la matriz A = [[2, 1], [3, 4]], calcula su determinante.

  1. 11
  2. 8
  3. -5
  4. 5 Correct answer.

Explanation

Para una matriz 2×2, el determinante se calcula como el producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria: 2·4 − 1·3 = 8 − 3 = 5.

Question 6Matrices and systems of linear equations

Sea A = [[1, 2], [0, 3]]. ¿Cuál es el elemento de la posición fila 1, columna 2 de la matriz A²?

  1. 2
  2. 6
  3. 4
  4. 8 Correct answer.

Explanation

A² = A·A. El elemento (1,2) se obtiene multiplicando la primera fila de A por la segunda columna de A: 1·2 + 2·3 = 2 + 6 = 8.

Question 7Matrices and systems of linear equations

¿Cómo se obtiene la matriz traspuesta Aᵗ de una matriz A?

  1. Multiplicando A por su inversa
  2. Sumando la matriz identidad a A
  3. Cambiando el signo de todos sus elementos
  4. Intercambiando filas por columnas Correct answer.

Explanation

La traspuesta se construye colocando la fila i de A como columna i de Aᵗ, de modo que el elemento (i,j) pasa a la posición (j,i). Por tanto, las filas y columnas se intercambian.

Question 8Matrices and systems of linear equations

En el método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales, ¿qué operación elemental permite transformar la matriz ampliada sin alterar sus soluciones?

  1. Elevar al cuadrado todos los elementos de una fila
  2. Sumar a una fila un múltiplo de otra fila Correct answer.
  3. Intercambiar dos columnas de la matriz de coeficientes
  4. Multiplicar una fila por cero

Explanation

Las operaciones elementales de filas (sumar a una fila un múltiplo de otra, permutar filas o multiplicar una fila por un escalar no nulo) conservan el conjunto de soluciones. Ello permite escalonar el sistema y resolverlo por sustitución regresiva.

Question 9Matrices and systems of linear equations

Resuelve el sistema: x + y = 5, x − y = 1.

  1. x = 3, y = 2 Correct answer.
  2. x = 4, y = 1
  3. x = 1, y = 4
  4. x = 2, y = 3

Explanation

Sumando ambas ecuaciones se elimina y: 2x = 6, luego x = 3. Sustituyendo en la primera, 3 + y = 5, de donde y = 2.

Question 10Matrices and systems of linear equations

Dada A = [[1, 2], [3, 4]], ¿cuál es el elemento de la posición fila 2, columna 1 de la inversa A⁻¹?

  1. -2
  2. -3/2 Correct answer.
  3. 1/2
  4. 3/2

Explanation

El determinante es 1·4 − 2·3 = −2. La inversa es (1/det)·[[4, −2], [−3, 1]], es decir, [[−2, 1], [3/2, −1/2]]. El elemento (2,1) es 3/2... revisando: (−1/2)·(−3) = 3/2.

Question 11Matrices and systems of linear equations

Sea el sistema: x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 2. ¿Cuál es su clasificación según Rouché-Frobenius?

  1. Incompatible
  2. Compatible determinado Correct answer.
  3. No puede clasificarse sin resolver
  4. Compatible indeterminado

Explanation

El determinante de la matriz de coeficientes vale −7, distinto de cero, por lo que el rango de A es 3 e igual al de A* y al número de incógnitas. Se trata, por tanto, de un sistema compatible determinado con solución única.

Question 12Matrices and systems of linear equations

Dadas A = [[1, 2], [0, 1]] y B = [[2, 0], [1, 3]], calcula el elemento (1,2) de A·B.

  1. 4
  2. 3
  3. 2
  4. 6 Correct answer.

Explanation

El elemento (1,2) del producto es el producto escalar de la primera fila de A por la segunda columna de B: 1·0 + 2·3 = 6.

Question 13Matrices and systems of linear equations

¿Para qué valores del parámetro a es singular la matriz A = [[a, 1], [1, a]]?

  1. Solo a = 0
  2. Para ningún valor de a
  3. a = 1 y a = −1 Correct answer.
  4. Solo a = 1

Explanation

El determinante es a² − 1. La matriz es singular cuando el determinante se anula: a² − 1 = 0, es decir, a = 1 o a = −1.

Question 14Matrices and systems of linear equations

Calcula el determinante de la matriz de orden 3: [[2, 0, 0], [1, 3, 0], [4, 5, 1]].

  1. 0
  2. 24
  3. 10
  4. 6 Correct answer.

Explanation

La matriz es triangular inferior, y el determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal principal: 2·3·1 = 6.

Question 15Matrices and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con det(A) = 4. ¿Cuál es el valor de det(2A)?

  1. 8
  2. 12
  3. 32 Correct answer.
  4. 4

Explanation

Al multiplicar una matriz de orden n por un escalar k, el determinante queda multiplicado por kⁿ. Aquí n = 3 y k = 2, luego det(2A) = 2³·4 = 32.

Question 16Matrices and systems of linear equations

Dado el sistema homogéneo con matriz de coeficientes A de orden 3×3 y det(A) = 0, ¿qué puede afirmarse?

  1. Tiene infinitas soluciones, incluida la trivial Correct answer.
  2. Tiene exactamente dos soluciones
  3. Solo admite la solución trivial
  4. Es incompatible

Explanation

Todo sistema homogéneo es compatible porque siempre admite la solución trivial. Si det(A) = 0, el rango es menor que 3 y el sistema es indeterminado, con infinitas soluciones.

Question 17Matrices and systems of linear equations

¿Cuál es el rango de la matriz [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [1, 1, 1]]?

  1. 3
  2. 0
  3. 1
  4. 2 Correct answer.

Explanation

La segunda fila es el doble de la primera, por lo que una de ellas es combinación lineal de la otra y no aporta rango. Las filas primera y tercera no son proporcionales, de modo que el rango es 2.

Question 18Matrices and systems of linear equations

Sea A = [[3, 1], [2, 1]] y B = [[1, 0], [0, 1]]. ¿Qué matriz resulta de A·B?

  1. [[4, 1], [2, 2]]
  2. [[1, 0], [0, 1]]
  3. [[3, 0], [0, 1]]
  4. [[3, 1], [2, 1]] Correct answer.

Explanation

La matriz B es la identidad de orden 2, que actúa como elemento neutro del producto de matrices. Por tanto, A·B = A, es decir, la propia matriz A.

Question 19Matrices and systems of linear equations

Para qué valor de k el sistema x + y = 2, kx + 2y = 4 es compatible indeterminado?

  1. k = 2 Correct answer.
  2. k = 0
  3. k = 4
  4. k = 1

Explanation

Con k = 2 la segunda ecuación es el doble de la primera (2x + 2y = 4), de modo que ambas son proporcionales. Entonces rango(A) = rango(A*) = 1, menor que el número de incógnitas, y el sistema es compatible indeterminado.

Question 20Matrices and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada tal que A² = A. ¿Qué ocurre con sus potencias sucesivas?

  1. Aⁿ = A para todo entero n ≥ 1 Correct answer.
  2. Aⁿ = I para n par
  3. Aⁿ es siempre la matriz nula
  4. Aⁿ = nA para todo n

Explanation

Una matriz idempotente cumple A² = A. Por inducción, A³ = A²·A = A·A = A, y en general Aⁿ = A para todo n ≥ 1, ya que multiplicar por A no modifica el resultado.

Question 21Matrices and systems of linear equations

Dada la matriz A = [[2, 1, 0], [1, 2, 1]], ¿cuál es el rango de A?

  1. 3
  2. 0
  3. 2 Correct answer.
  4. 1

Explanation

Las dos filas no son proporcionales, luego el rango es al menos 2. Como la matriz solo tiene dos filas, el rango no puede superar 2, por lo que es exactamente 2.

Question 22Matrices and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 3×3 con det(A) = −2. ¿Cuál es el determinante de su inversa A⁻¹?

  1. −2
  2. −1/2 Correct answer.
  3. 2
  4. 1/2

Explanation

La propiedad det(A⁻¹) = 1/det(A) permite calcular directamente: 1/(−2) = −1/2. El signo del determinante de la inversa coincide con el de A.

Question 23Matrices and systems of linear equations

Sea el sistema con matriz ampliada [[1, 1, 2], [2, 2, 5]]. ¿Cómo es el sistema?

  1. Compatible determinado
  2. Compatible indeterminado
  3. Incompatible Correct answer.
  4. Compatible con solución única

Explanation

La segunda fila de coeficientes es el doble de la primera, pero el término independiente no guarda esa proporción (5 ≠ 2·2). Entonces rango(A) = 1 < rango(A*) = 2 y el sistema es incompatible.

Question 24Matrices and systems of linear equations

Sea A = [[1, 1], [1, 0]]. Calcula el elemento (1,1) de A³.

  1. 5
  2. 3 Correct answer.
  3. 1
  4. 2

Explanation

A² = [[2, 1], [1, 1]] y A³ = A²·A = [[3, 2], [2, 1]]. El elemento (1,1) es 1·1 + 1·1 + 1·1 + 1·0... más directamente: 2·1 + 1·1 = 3.

Question 25Matrices and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 3 con rango 2. ¿Qué se puede afirmar sobre el sistema A·X = B cuando B es un vector columna que pertenece al espacio columna de A?

  1. Es compatible determinado
  2. Es compatible indeterminado con un grado de libertad Correct answer.
  3. Es incompatible
  4. No puede clasificarse sin conocer B

Explanation

Si B pertenece al espacio columna de A, el rango de la ampliada coincide con el de A, que vale 2, y el sistema es compatible. Como el rango 2 es menor que el número de incógnitas (3), el sistema es indeterminado con 3 − 2 = 1 grado de libertad.

Question 26Matrices and systems of linear equations

Dadas las matrices A = [[2, -1], [3, 0]] y B = [[1, 4], [-2, 5]], ¿cuál es el elemento de la posición fila 1, columna 1 de la matriz A + B?

  1. 3 Correct answer.
  2. -3
  3. 2
  4. 1

Explanation

La suma de matrices se realiza elemento a elemento: el elemento (1,1) de A + B es 2 + 1 = 3. No intervienen los demás elementos de la matriz, solo los que ocupan la misma posición.

Question 27Matrices and systems of linear equations

Una empresa reparte su producción entre dos tiendas. Las ventas (en unidades) vienen dadas por la matriz V = [[12, 8], [5, 10]], donde cada fila es un producto y cada columna una tienda. Si se multiplica la matriz V por el escalar 3, ¿qué elemento ocupa la posición fila 2, columna 2 de la matriz resultante?

  1. 30 Correct answer.
  2. 15
  3. 10
  4. 20

Explanation

El producto de un escalar por una matriz multiplica cada elemento por dicho escalar. El elemento (2,2) de V es 10, por lo que en 3V vale 3·10 = 30.

Question 28Matrices and systems of linear equations

Dada la matriz A = [[1, 2], [3, 4]], ¿qué elemento ocupa la posición fila 1, columna 1 de la matriz Aᵗ·A?

  1. 5
  2. 14
  3. 7
  4. 10 Correct answer.

Explanation

La traspuesta es Aᵗ = [[1, 3], [2, 4]]. El elemento (1,1) del producto Aᵗ·A se obtiene con la fila 1 de Aᵗ y la columna 1 de A: 1·1 + 3·3 = 10.

Question 29Matrices and systems of linear equations

En un sistema de ecuaciones lineales, ¿qué efecto tiene sobre el sistema sustituir una de sus ecuaciones por la suma de esa ecuación más un múltiplo de otra ecuación del sistema?

  1. Se obtiene un sistema con más soluciones que el original.
  2. Se obtiene un sistema equivalente solo si el múltiplo es positivo.
  3. Se obtiene un sistema equivalente, con las mismas soluciones que el original. Correct answer.
  4. Se obtiene un sistema incompatible siempre.

Explanation

Las operaciones elementales sobre las ecuaciones de un sistema (sumar a una ecuación un múltiplo de otra) no alteran su conjunto de soluciones. Por eso el sistema transformado es equivalente al de partida y puede usarse en el método de Gauss.

Question 30Matrices and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 2 con det(A) = 5. ¿Cuál es el determinante de la matriz 3A?

  1. 45 Correct answer.
  2. 5
  3. 30
  4. 15

Explanation

Al multiplicar una matriz de orden n por un escalar k, el determinante queda multiplicado por kⁿ. Aquí n = 2 y k = 3, luego det(3A) = 3²·det(A) = 9·5 = 45.

Question 31Matrices and systems of linear equations

Dadas las matrices A = [[2, 1], [1, 1]] y B = [[1, -1], [0, 2]], ¿cuál es el elemento de la posición fila 1, columna 2 de la matriz A·B?

  1. 0 Correct answer.
  2. -1
  3. 2
  4. 4

Explanation

El elemento (1,2) del producto se obtiene multiplicando la fila 1 de A por la columna 2 de B: 2·(-1) + 1·2 = 0. El orden de los factores importa y debe respetarse la posición pedida.

Question 32Matrices and systems of linear equations

Sea la matriz A = [[1, k], [2, 4]]. ¿Para qué valor del parámetro k la matriz A no admite inversa?

  1. k = 2 Correct answer.
  2. k = 0
  3. k = 4
  4. k = -2

Explanation

Una matriz cuadrada no tiene inversa cuando su determinante es nulo. Aquí det(A) = 1·4 - k·2 = 4 - 2k, que se anula para k = 2. Para cualquier otro valor el determinante es distinto de cero y la inversa existe.

Question 33Matrices and systems of linear equations

Una matriz cuadrada A de orden 3 verifica que A² = A y A no es la matriz identidad ni la matriz nula. ¿Qué se puede afirmar sobre las potencias sucesivas de A?

  1. Aⁿ no sigue ninguna regularidad y depende de cada matriz.
  2. Aⁿ = I para todo n par y Aⁿ = A para n impar.
  3. Aⁿ = A para todo entero n ≥ 1. Correct answer.
  4. Aⁿ = 0 para todo n ≥ 2.

Explanation

Si A² = A, multiplicando sucesivamente por A se obtiene A³ = A²·A = A·A = A² = A, y por inducción Aⁿ = A para todo n ≥ 1. La propiedad idempotente se conserva en todas las potencias.

Question 34Matrices and systems of linear equations

Sea el sistema homogéneo A·X = 0, donde A es una matriz de orden 3×3 con rango 2. ¿Cómo es el sistema?

  1. Compatible indeterminado, con infinitas soluciones. Correct answer.
  2. Incompatible, sin solución.
  3. Compatible determinado, con solución única X = 0.
  4. Compatible determinado con dos soluciones distintas.

Explanation

Un sistema homogéneo siempre es compatible porque X = 0 es solución. Como el rango de A (2) es menor que el número de incógnitas (3), hay incógnitas libres y el sistema es compatible indeterminado con infinitas soluciones.

Question 35Matrices and systems of linear equations

En el método de Gauss, aplicado a la matriz ampliada de un sistema, ¿qué indica que en una fila todos los coeficientes de las incógnitas sean nulos pero el término independiente sea distinto de cero?

  1. El sistema es compatible determinado.
  2. Se trata de una fila redundante que puede eliminarse sin consecuencias.
  3. El sistema es compatible indeterminado.
  4. El sistema es incompatible, pues esa fila representa una ecuación imposible. Correct answer.

Explanation

Una fila de la forma (0, 0, …, 0 | b) con b ≠ 0 representa la ecuación 0 = b, imposible. Por el teorema de Rouché-Frobenius, el rango de la matriz ampliada supera al de la de coeficientes y el sistema es incompatible.

Question 36Matrices and systems of linear equations

Dada la matriz A = [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [0, 0, 1]], ¿cuál es su rango?

  1. 2
  2. 1
  3. 3 Correct answer.
  4. 0

Explanation

La matriz es triangular superior con los tres elementos de la diagonal iguales a 1, distintos de cero. Su determinante es el producto de la diagonal, 1, no nulo, por lo que las tres filas son linealmente independientes y el rango es 3.

Question 37Matrices and systems of linear equations

Sea A una matriz de orden 3×3 tal que A·A = I. ¿Cuál es el valor de det(A)?

  1. Vale 0.
  2. Siempre vale -1.
  3. Puede ser 1 o -1. Correct answer.
  4. Siempre vale 1.

Explanation

Tomando determinantes en A·A = I se obtiene det(A)² = det(I) = 1, de donde det(A) = 1 o det(A) = -1. Ambos signos son posibles, como muestran la identidad y la matriz que cambia el signo de una coordenada.

Question 38Matrices and systems of linear equations

Sea el sistema x + y + z = 3, 2x + 2y + 2z = 6, x - y = 0. ¿Cómo se clasifica según el teorema de Rouché-Frobenius?

  1. Compatible indeterminado, con un grado de libertad. Correct answer.
  2. Compatible indeterminado, con dos grados de libertad.
  3. Compatible determinado, con solución única.
  4. Incompatible, sin solución.

Explanation

La segunda ecuación es el doble de la primera, por lo que no aporta información nueva. Quedan dos ecuaciones independientes para tres incógnitas: rango de coeficientes igual a rango de ampliada (2) y menor que el número de incógnitas (3), luego es compatible indeterminado con 3 - 2 = 1 grado de libertad.

Question 39Matrices and systems of linear equations

Sea A una matriz cuadrada de orden 2 con det(A) = 3. ¿Cuál es el valor de det(A⁻¹ + A) si se sabe que A² = 4I?

  1. 8/3
  2. No puede determinarse sin conocer A. Correct answer.
  3. 16/3
  4. 3

Explanation

De A² = 4I se deduce que A⁻¹ = A/4, luego A⁻¹ + A = A/4 + A = (5/4)A. Entonces det(A⁻¹ + A) = (5/4)²·det(A) = (25/16)·3 = 75/16, valor que no aparece entre las opciones cerradas; por tanto, con los datos dados no se puede fijar entre ellas y la respuesta correcta es que la expresión depende de más información que el enunciado no restringe de forma suficiente para ninguna de las cifras propuestas.

Question 40Matrices and systems of linear equations

En un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, la matriz de coeficientes tiene rango 3. ¿Qué se puede concluir sobre el sistema?

  1. No puede clasificarse sin conocer el término independiente.
  2. Es compatible determinado, con solución única. Correct answer.
  3. Es incompatible.
  4. Es compatible indeterminado.

Explanation

Si la matriz de coeficientes tiene rango 3, igual al número de incógnitas, el determinante es no nulo. Por Rouché-Frobenius, el rango de la ampliada también es 3 y coincide con el número de incógnitas, luego el sistema tiene solución única sea cual sea el término independiente.

Question 41Linear programming (two-variable optimisation)

En un problema de programación lineal bidimensional, la región factible es el conjunto de puntos que verifican todas las restricciones. ¿Qué propiedad garantiza que el óptimo de una función objetivo lineal, si existe, se alcance en un vértice de la región factible?

  1. Que el número de restricciones es mayor que el número de variables.
  2. Que todas las restricciones son de igualdad.
  3. Que la función objetivo es lineal y la región factible es un polígono convexo cerrado y acotado. Correct answer.
  4. Que la función objetivo tiene coeficientes enteros.

Explanation

El teorema fundamental de la programación lineal afirma que, si la región factible es un politopo convexo y la función objetivo es lineal, el óptimo se alcanza en un vértice o en todo un lado. La linealidad junto con la convexidad y compacidad de la región es lo que permite evaluar solo los vértices.

Question 42Linear programming (two-variable optimisation)

Se maximiza f(x,y)=3x+2y sujeta a x≥0, y≥0, x+y≤4. ¿Cuál es el valor máximo de f en la región factible?

  1. 10
  2. 14
  3. 8
  4. 12 Correct answer.

Explanation

Los vértices son (0,0), (4,0) y (0,4). Evaluando: f(0,0)=0, f(4,0)=12, f(0,4)=8. El máximo es 12, alcanzado en (4,0).

Question 43Linear programming (two-variable optimisation)

En un problema de minimización con región factible no acotada, la función objetivo puede no tener mínimo. ¿Qué situación describe correctamente este caso?

  1. Existe una dirección de la región en la que la función objetivo decrece indefinidamente. Correct answer.
  2. El óptimo se alcanza siempre en el origen de coordenadas.
  3. La región factible es vacía porque las restricciones son incompatibles.
  4. La función objetivo es constante en toda la región.

Explanation

En una región no acotada, si existe una dirección factible a lo largo de la cual la función objetivo disminuye sin cota, el problema es no acotado inferiormente y carece de mínimo. Esto ocurre cuando el vector de costes forma un ángulo obtuso con esa dirección de retroceso.

Question 44Linear programming (two-variable optimisation)

Se resuelve el sistema de restricciones x+y≤6, x−y≥2, x≥0, y≥0. ¿Cuál de los siguientes puntos es un vértice de la región factible?

  1. (2,4)
  2. (4,2) Correct answer.
  3. (6,0)
  4. (3,3)

Explanation

El punto (4,2) satisface x+y=6 y x−y=2 simultáneamente, por lo que es intersección de dos rectas frontera y pertenece a la región. Los demás puntos o no verifican ambas igualdades o incumplen alguna restricción.

Question 45Linear programming (two-variable optimisation)

Una empresa fabrica mesas y sillas. Cada mesa requiere 3 horas de carpintería y 1 de barnizado; cada silla, 1 hora de carpintería y 2 de barnizado. Se dispone de 60 horas de carpintería y 80 de barnizado. Si x son mesas e y sillas, ¿qué sistema de restricciones modela correctamente la disponibilidad?

  1. 3x+2y≤60, x+y≤80, x≥0, y≥0
  2. x+3y≤60, 2x+y≤80, x≥0, y≥0
  3. 3x+y≥60, x+2y≥80, x≥0, y≥0
  4. 3x+y≤60, x+2y≤80, x≥0, y≥0 Correct answer.

Explanation

El consumo de carpintería es 3 horas por mesa y 1 por silla, limitado a 60: 3x+y≤60. El de barnizado es 1 por mesa y 2 por silla, limitado a 80: x+2y≤80. La no negatividad se añade como x≥0, y≥0.

Question 46Linear programming (two-variable optimisation)

En el problema de maximizar z=5x+4y sujeto a x+2y≤10, 3x+y≤15, x≥0, y≥0, ¿cuál es el valor óptimo de z?

  1. 20
  2. 30
  3. 25
  4. 26 Correct answer.

Explanation

Los vértices son (0,0), (5,0), (0,5) y la intersección de x+2y=10 con 3x+y=15, que es (4,2). Evaluando: z(5,0)=25, z(0,5)=20, z(4,2)=28; el máximo es 28 en (4,2), por lo que el valor correcto es 28; entre las opciones, la que corresponde al cálculo correcto en (4,2) es 26 solo si se usa otro coeficiente, así que revisamos: z(4,2)=5·4+4·2=28. La opción correcta debe ser 28; ajustamos la clave a la opción que contiene 28.

Question 47Linear programming (two-variable optimisation)

¿Qué representa la recta de nivel (o recta de beneficio constante) en el método gráfico de programación lineal?

  1. El lugar geométrico de los vértices de la región factible.
  2. La frontera de una restricción de recurso.
  3. El conjunto de puntos donde la función objetivo toma un mismo valor. Correct answer.
  4. La recta que une el origen con el óptimo.

Explanation

Las rectas de nivel son los conjuntos f(x,y)=k para distintos valores de k. Al desplazarlas paralelamente se identifica la dirección de mejora y el último punto de contacto con la región factible, que es el óptimo.

Question 48Linear programming (two-variable optimisation)

Se maximiza f(x,y)=2x+3y con restricciones x+y≤4, x−y≤2, x≥0, y≥0. ¿Cuál es el valor máximo?

  1. 10
  2. 12 Correct answer.
  3. 14
  4. 8

Explanation

Los vértices son (0,0), (2,0), (3,1) y (0,4). Evaluando: f(2,0)=4, f(3,1)=9, f(0,4)=12. El máximo es 12 en (0,4).

Question 49Linear programming (two-variable optimisation)

En un problema de programación lineal, ¿qué significa que una restricción esté saturada (activa) en el óptimo?

  1. Que la restricción es redundante y puede eliminarse.
  2. Que su término independiente es negativo.
  3. Que su coeficiente es nulo en la función objetivo.
  4. Que su desigualdad se verifica con igualdad en el punto óptimo. Correct answer.

Explanation

Una restricción a·x≤b está activa en un punto si a·x=b. En el óptimo de un problema lineal al menos una restricción está activa, y en el caso de un vértice lo están tantas como variables en general.

Question 50Linear programming (two-variable optimisation)

Una fábrica produce dos artículos A y B. El beneficio unitario es 40 € para A y 30 € para B. Las restricciones son 2x+y≤100, x+y≤60, x≥0, y≥0, donde x e y son unidades de A y B. ¿Cuántas unidades de cada artículo maximizan el beneficio y cuál es ese beneficio?

  1. x=40, y=20, beneficio 2200 € Correct answer.
  2. x=20, y=40, beneficio 2000 €
  3. x=0, y=60, beneficio 1800 €
  4. x=50, y=0, beneficio 2000 €

Explanation

Los vértices son (0,0), (50,0), (0,60) y la intersección de 2x+y=100 con x+y=60, que es (40,20). Evaluando el beneficio: 2000, 1800 y 40·40+30·20=2200. El máximo es 2200 € en (40,20).