Plan de producción y pedido especial en un taller de cerámica
Un taller artesanal produce cuencos (x) y jarrones (y). Cada cuenco deja un beneficio de 3 € y cada jarrón, 5 €. La producción está limitada por tres recursos: mano de obra, con 2 horas por cuenco y 3 por jarrón, y un máximo de 120 horas; arcilla, con 4 kg por cuenco y 2 kg por jarrón, y un máximo de 160 kg; y embalaje, con un máximo de 50 piezas en total. Un hotel ofrece comprar exactamente 10 cuencos a un margen especial de 8 € por cuenco, en lugar de los 3 € habituales. Para fabricar esos 10 cuencos se utilizarían los mismos recursos y el resto de la capacidad se dedicaría a jarrones, sin producir cuencos adicionales. La dirección quiere saber si el pedido especial mejora el beneficio semanal y a partir de qué margen especial empezaría a compensar. No se pueden almacenar piezas sin vender.
1. Formula el problema de programación lineal para la producción habitual, sin pedido especial, resuélvelo a partir de los vértices de la región factible e indica la producción óptima y el beneficio.
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El problema es maximizar B(x,y) = 3x + 5y sujeto a:
- 2x + 3y ≤ 120 (mano de obra)
- 4x + 2y ≤ 160, equivalente a 2x + y ≤ 80 (arcilla)
- x + y ≤ 50 (embalaje)
- x ≥ 0, y ≥ 0
Los vértices de la región factible son (0,0), (40,0), (0,40) y la intersección de 2x + y = 80 con 2x + 3y = 120. Restando ambas: 2y = 40, luego y = 20 y x = 30. Ese punto también cumple x + y = 50.
Valores del beneficio:
- (0,0): 0 €
- (40,0): 120 €
- (0,40): 200 €
- (30,20): 3·30 + 5·20 = 190 €
El máximo es 200 € en (0,40). La producción habitual óptima es no fabricar cuencos y fabricar 40 jarrones, usando las 120 horas de mano de obra, 80 kg de arcilla y 40 piezas de embalaje.
2. Evalúa el pedido especial a 8 € por cuenco. Calcula el beneficio con exactamente 10 cuencos especiales y el número máximo de jarrones; compáralo con el óptimo habitual. Determina el margen especial mínimo que haría indiferente el pedido.
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Con exactamente 10 cuencos especiales, x = 10. Las restricciones para los jarrones quedan:
- Mano de obra: 20 + 3y ≤ 120, luego y ≤ 33,33.
- Arcilla: 40 + 2y ≤ 160, luego y ≤ 60.
- Embalaje: 10 + y ≤ 50, luego y ≤ 40.
El máximo es y = 33,33 si se admite producción continua; si se exigen piezas enteras, y = 33. El beneficio con el margen especial de 8 € es 10·8 + 5·33,33 = 246,67 €, superior a los 200 € del plan habitual. Con enteros sería 10·8 + 5·33 = 245 €, también superior. Por tanto, el pedido compensa.
Si el margen especial fuese p, el beneficio sería 10p + 5·33,33. Igualando al beneficio habitual: 10p + 166,67 = 200, luego p = 3,33 €. Con producción entera, 10p + 165 = 200, luego p = 3,5 €. A 8 € se supera ampliamente ese umbral.