Precio del abono en un centro deportivo
Un centro deportivo estudia el precio mensual de su abono. Un estudio de mercado estima que, si el precio es p euros (20 ≤ p ≤ 40), se venderán q = 900 − 20p abonos. El coste mensual fijo es de 2000 € y el coste variable es de 10 € por abono. La dirección quiere fijar el precio que maximice el beneficio, pero también valora una promoción de 20 € para llenar el aforo, que es de 500 abonos. Además, el ayuntamiento ha propuesto una tasa de 2 € por abono que pagaría el centro, lo que elevaría el coste variable a 12 €. Antes de decidir, la dirección pide un análisis marginal: si en un precio dado el ingreso marginal supera al coste marginal, subir el precio aumenta el beneficio. El centro no puede vender más abonos que su aforo y no considerará precios fuera del intervalo indicado.
1. Obtén la función de beneficio en función de p, comprueba que es cóncava y calcula el precio y el número de abonos que maximizan el beneficio.
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El ingreso es p·q = p(900 − 20p). El coste es 2000 + 10q = 2000 + 10(900 − 20p). Por tanto:
Π(p) = p(900 − 20p) − [2000 + 10(900 − 20p)] = 900p − 20p² − 2000 − 9000 + 200p = −20p² + 1100p − 11000.
La derivada es Π'(p) = −40p + 1100. Igualando a cero: p = 1100/40 = 27,5 €. La segunda derivada es Π''(p) = −40 < 0, luego es cóncava y el punto crítico es un máximo. El número de abonos es q = 900 − 20·27,5 = 350. El beneficio máximo es Π(27,5) = −20·27,5² + 1100·27,5 − 11000 = 4125 €. En los extremos del intervalo, Π(20) = 3000 € y Π(40) = 1000 €, así que el máximo global es el calculado.
2. Evalúa la promoción de 20 € usando el análisis marginal y comparando beneficios. ¿Qué recomendación darías?
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Con p = 20 €, la demanda es q = 900 − 400 = 500 abonos, justo el aforo. El beneficio es Π(20) = −20·400 + 1100·20 − 11000 = 3000 €. La derivada en p = 20 es Π'(20) = −40·20 + 1100 = 300 > 0. Esto significa que, en ese punto, subir el precio aumenta el beneficio; por tanto, bajar el precio hasta 20 € no es una decisión óptima. El precio que maximiza el beneficio es 27,5 €, con 350 abonos y 4125 € de beneficio. La promoción llena el aforo, pero reduce el beneficio en 1125 € respecto al óptimo. Recomendaría no aplicar la promoción si el objetivo es maximizar el beneficio; solo tendría sentido si se valoran otros objetivos, como captar socios o aumentar la ocupación, asumiendo el coste.
3. Si se aprueba la tasa de 2 € por abono, recalcula el precio óptimo y el beneficio. ¿Sube o baja el precio respecto al apartado anterior y por qué?
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La tasa eleva el coste variable a 12 € por abono. El nuevo beneficio es:
Π(p) = p(900 − 20p) − [2000 + 12(900 − 20p)] = 900p − 20p² − 2000 − 10800 + 240p = −20p² + 1140p − 12800.
Derivando: Π'(p) = −40p + 1140 = 0, luego p = 28,5 €. La segunda derivada sigue siendo −40 < 0. La cantidad es q = 900 − 20·28,5 = 330 abonos y el beneficio es Π(28,5) = −20·28,5² + 1140·28,5 − 12800 = 3445 €. El precio sube de 27,5 € a 28,5 € y el beneficio baja en 680 €. El aumento del coste marginal hace que interese trasladar parte de la subida al precio y reducir algo la cantidad vendida.