Renta, gasto en café y riesgo de suscripciones
Una cooperativa de café realiza un estudio en seis hogares sobre la renta mensual x (en miles de euros) y el gasto mensual en café y (en euros). Los datos son (1,30), (2,50), (3,60), (4,80), (5,90) y (6,110). Además, una encuesta previa estima que el 25 % de los hogares de la comarca se suscribiría a un nuevo servicio de café a domicilio. La cooperativa planea lanzar el servicio en 400 hogares y necesita al menos 111 suscripciones para cubrir costes. Para decidir si el estudio de gasto sirve para predecir la demanda, la gerencia quiere conocer la relación entre renta y gasto, la recta de regresión y la fiabilidad de una predicción. También quiere cuantificar el riesgo de no alcanzar el umbral de suscripciones, distinguiendo entre una muestra pequeña de 12 hogares y el lanzamiento a 400 hogares.
1. Calcula la covarianza, el coeficiente de correlación lineal y la recta de regresión de y sobre x. Interpreta los resultados.
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Con n = 6: Σx = 21, x̄ = 3,5; Σy = 420, ȳ = 70; Σx² = 91; Σy² = 33600; Σxy = 1740.
Sxx = 91 − 21²/6 = 91 − 73,5 = 17,5. Syy = 33600 − 420²/6 = 33600 − 29400 = 4200. Sxy = 1740 − (21·420)/6 = 1740 − 1470 = 270.
La covarianza poblacional es 270/6 = 45; si se usa el divisor n − 1, es 54. La covarianza es positiva: renta y gasto tienden a variar en el mismo sentido.
r = 270/√(17,5·4200) = 270/√73500 ≈ 0,9959. La correlación es muy alta y positiva; el ajuste lineal es muy fuerte. La recta de regresión es y = a + bx, con b = 270/17,5 = 15,43 y a = 70 − 15,43·3,5 = 16. Por tanto, ŷ = 16 + 15,43x. Cada mil euros adicionales de renta se asocian, por término medio, con unos 15,43 € más de gasto mensual en café.
2. Estima el gasto para una renta de 8000 € y valora la fiabilidad de la predicción. ¿Qué precaución debe tomarse?
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Una renta de 8000 € corresponde a x = 8. Sustituyendo en la recta: ŷ = 16 + 15,43·8 = 139,44 €. La estimación puntual es, por tanto, unos 139 € mensuales de gasto en café.
La correlación es muy alta, pero hay que interpretarla con cautela: la muestra es muy pequeña, solo seis hogares, y x = 8 queda fuera del intervalo observado (de 1 a 6). Se trata de una extrapolación, por lo que la predicción es menos fiable que dentro del rango de datos. Además, una correlación alta no implica causalidad; puede haber otras variables, como el tamaño del hogar o los hábitos de consumo, que expliquen el gasto. La predicción debe tomarse como una orientación, no como una certeza.
3. Con p = 0,25, calcula la probabilidad de que en una muestra de 12 hogares se suscriban al menos 5. Para 400 hogares, aproxima mediante la normal la probabilidad de superar las 110 suscripciones, es decir, al menos 111, y valora el riesgo de no cubrir costes.
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Sea X el número de hogares suscritos en 12, con X ~ Binomial(12; 0,25).
P(X ≥ 5) = 1 − [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)].
Los cálculos dan aproximadamente: P(X=0)=0,0317; P(X=1)=0,1267; P(X=2)=0,2323; P(X=3)=0,2581; P(X=4)=0,1936. Su suma es 0,8424, luego P(X ≥ 5) ≈ 0,1576. En una muestra pequeña de 12 hogares, la probabilidad de obtener al menos 5 suscripciones es solo del 15,8 %.
Para 400 hogares, X ≈ Normal(μ = 400·0,25 = 100; σ = √(400·0,25·0,75) = √75 ≈ 8,66). Con corrección por continuidad para P(X ≥ 111): z = (110,5 − 100)/8,66 ≈ 1,21. Entonces P(Z > 1,21) ≈ 0,113. La probabilidad de alcanzar al menos 111 suscripciones es aproximadamente del 11,3 %, por lo que el riesgo de no cubrir costes es alto, en torno al 88,7 %. Con estos datos, el lanzamiento a 400 hogares no está garantizado y requeriría reducir el umbral o aumentar la captación.