Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
En la PAU de Castilla-La Mancha este bloque se evalúa con operaciones entre matrices (producto, potencia, traspuesta, inversa), el cálculo de rangos -muchas veces con un parámetro- y la discusión y resolución de sistemas lineales por Rouché-Fontené o por Gauss. Es frecuente que la matriz sea el modelo de una situación real (costes por talleres, producción por plantas) y que haya que escribirla como ecuación matricial A·X = B y despejar.
Reglas imprescindibles
- El producto no es conmutativo: A·B ≠ B·A en general. Sí valen (A·B)^t = B^t·A^t y (A·B)^(−1) = B^(−1)·A^(−1).
- Una matriz cuadrada A tiene inversa si y solo si |A| ≠ 0. Para 2×2, A^(−1) = (1/|A|)·[[d, −b], [−c, a]]. Para 3×3 se usa A^(−1) = adj(A)^t/|A|, sin olvidar la traspuesta de la matriz de adjuntos.
- Rango = orden del mayor menor no nulo = número de filas linealmente independientes. Con parámetro, conviene escalonar y estudiar cuándo se anula cada pivote.
- Rouché-Fontené: el sistema es compatible si rango(A) = rango(A*), siendo A* la matriz ampliada. Si ese rango común coincide con el número de incógnitas, es determinado; si es menor, indeterminado. Los sistemas homogéneos son siempre compatibles.
- Si |A| ≠ 0, la solución de A·X = B es X = A^(−1)·B.
Ejemplo resuelto
Discutir según el valor de a el sistema: x + y + z = 1; ax + y + z = 1; x + ay + z = 1.
La matriz de coeficientes tiene |A| = a² − 2a + 1 = (a − 1)². Si a ≠ 1 el determinante no se anula, luego rango(A) = rango(A*) = 3, igual al número de incógnitas: compatible determinado, con solución única. Si a = 1 las tres filas quedan (1, 1, 1 | 1), de modo que rango(A) = rango(A*) = 1 < 3: compatible indeterminado con dos parámetros; despejando, x = 1 − λ − μ, y = λ, z = μ.
Errores que cuestan puntos
- Concluir que no hay solución solo porque |A| = 0: hay que comparar los dos rangos.
- Olvidar la traspuesta al calcular la inversa por adjuntos, o los signos alternos de los cofactores.
- Dividir por un parámetro sin separar el caso en que se anula.
- No comprobar la solución obtenida en la ecuación matricial original.