Programación lineal en dos variables
Programación lineal en dos variables
El examen plantea un problema de optimización con dos variables a partir de un enunciado (beneficios, costes, dietas, superficies), y pide dibujar la región factible, calcular sus vértices y localizar el óptimo. También son habituales las preguntas sobre si la solución es única, si hay infinitas soluciones o si el problema no está acotado.
Reglas y conceptos clave
- Cada restricción es una inecuación lineal y define un semiplano; se decide cuál tomando un punto de prueba, normalmente (0, 0), si no pertenece a la recta frontera.
- La región factible es la intersección de todos los semiplanos. Sus vértices se obtienen resolviendo los sistemas formados por pares de rectas frontera y comprobando después que el punto cumple todas las restricciones.
- Teorema fundamental: si la región factible es acotada y no vacía, el máximo y el mínimo de Z = ax + by se alcanzan al menos en un vértice. Basta evaluar Z en todos los vértices.
- Si la región no está acotada hay que razonar: Z puede crecer indefinidamente y entonces no existe máximo, aunque sí puede existir mínimo en un vértice.
- Las rectas de nivel Z = k permiten ver la dirección de crecimiento. Si son paralelas a un lado de la región, todos los puntos de ese lado son óptimos (infinitas soluciones).
- Traduce con cuidado: al menos, como máximo, no negativo, y las restricciones de no negatividad x ≥ 0, y ≥ 0.
Ejemplo resuelto
Maximizar Z = 3x + 2y sujeto a x + 2y ≤ 8, 3x + 2y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0. Los vértices son (0, 0), (4, 0) -corte de y = 0 con 3x + 2y = 12-, (0, 4) -corte de x = 0 con x + 2y = 8- y (2, 3), intersección de las dos rectas oblicuas. Valores de Z: 0, 12, 8 y 12. El máximo es 12 y se alcanza en (4, 0) y en (2, 3); como Z = 12 es paralela a la restricción 3x + 2y = 12, todo el segmento que une ambos puntos es óptimo.
Errores que cuestan puntos
- No comprobar si el punto de corte de dos rectas pertenece realmente a la región factible.
- Olvidar las restricciones de no negatividad y dibujar una región mayor.
- Dar por única una solución que es múltiple, o dar solo el valor de Z sin el punto donde se alcanza.
- Afirmar que existe máximo en una región no acotada sin justificarlo.