Límites, continuidad y derivadas
Límites, continuidad y derivadas
Este bloque evalúa el cálculo de límites con indeterminaciones, el estudio de la continuidad en un punto (incluidos los parámetros que la hacen posible) y el cálculo de derivadas con la recta tangente como aplicación directa. Es la base técnica sobre la que se apoyan los problemas de optimización y de representación de funciones.
Reglas y conceptos clave
- Ante una indeterminación 0/0 se factoriza o se multiplica por el conjugado; ante ∞/∞ en funciones racionales se comparan los grados de numerador y denominador; en ∞ − ∞ conviene operar o racionalizar.
- En la indeterminación 1^∞ aparece el número e: si f(x) → 1 y g(x) → ∞, entonces f(x)^g(x) → e^{lim g(x)·(f(x) − 1)}.
- f es continua en x = a si existe f(a), existe el límite y ambos coinciden. Discontinuidad evitable: el límite existe pero no coincide con f(a); de salto finito: los límites laterales existen y son distintos; de salto infinito: aparece una asíntota vertical.
- Derivada en un punto: f'(a) = lim(h→0) [f(a + h) − f(a)]/h. Toda función derivable es continua, pero el recíproco es falso: f(x) = |x| es continua y no derivable en x = 0.
- Reglas: (u·v)' = u'v + uv'; (u/v)' = (u'v − uv')/v²; regla de la cadena (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x).
- Recta tangente en x = a: y − f(a) = f'(a)·(x − a).
Ejemplo resuelto
Calcular lim(x→2) (x² − 4)/(x² − 3x + 2). Al sustituir x = 2 se obtiene 0/0, una indeterminación. Factorizamos: numerador (x − 2)(x + 2) y denominador (x − 2)(x − 1). Para x ≠ 2 se simplifica y queda (x + 2)/(x − 1), cuyo valor en x = 2 es 4/1 = 4. El límite existe, pero f(2) no está definida: hay una discontinuidad evitable en x = 2.
Errores que cuestan puntos
- Escribir que el límite es indeterminado y no operar; la indeterminación es un punto de partida, no una respuesta.
- Confundir el valor del límite con f(a) al estudiar la continuidad.
- Derivar un producto como producto de derivadas u olvidar la derivada de la función interna en la regla de la cadena.
- Afirmar que una función continua es derivable sin justificarlo.