Aplicaciones de la derivada: monotonía, extremos y optimización
Aplicaciones de la derivada
Aquí se evalúa el uso de la primera y la segunda derivada para describir una función (dónde crece, dónde decrece, máximos y mínimos relativos, curvatura y puntos de inflexión) y, sobre todo, la optimización de una magnitud en problemas con enunciado: maximizar área, minimizar coste, maximizar beneficio.
Reglas y conceptos clave
- Si f' > 0 en un intervalo, f es creciente; si f' < 0, decreciente. Para decidirlo se estudia el signo de f' entre los puntos donde se anula o no existe.
- Extremo relativo: en x = a con f'(a) = 0 (o f' no definida) y cambio de signo de f'. Máximo si f' pasa de positiva a negativa; mínimo si pasa de negativa a positiva. Sin cambio de signo no hay extremo: f(x) = x³ en x = 0 tiene derivada nula y no tiene extremo.
- f'' > 0 indica convexa (∪); f'' < 0, cóncava (∩). Hay punto de inflexión donde cambia la curvatura, es decir, donde f'' cambia de signo.
- Criterio de la segunda derivada: si f'(a) = 0 y f''(a) > 0, hay mínimo; si f''(a) < 0, máximo; si f''(a) = 0, el criterio no decide y hay que mirar el signo de f'.
- En optimización: define la variable, impón la ligadura para dejar una sola variable, indica el dominio real (longitudes positivas), deriva, iguala a cero y justifica si es máximo o mínimo. Termina respondiendo a la magnitud que se pregunta, no solo al valor de la variable.
Ejemplo resuelto
Se quieren cercar 100 m de valla formando un rectángulo apoyado en un muro, de modo que solo se vallan tres lados. Maximizar el área. Si y es cada lado perpendicular al muro y x el lado paralelo, la ligadura es x + 2y = 100, luego x = 100 − 2y. El área es A(y) = (100 − 2y)·y = 100y − 2y², con 0 < y < 50. A'(y) = 100 − 4y = 0 da y = 25 y x = 50. Como A''(y) = −4 < 0, es un máximo. El área máxima es 50·25 = 1250 m².
Errores que cuestan puntos
- Suponer que todo punto con derivada nula es extremo.
- No justificar con el signo de f' o de f'' que se trata de máximo o de mínimo.
- Ignorar el dominio impuesto por el enunciado.
- Dar el valor de la variable sin calcular la magnitud pedida (área, beneficio, coste).