Integración y áreas bajo curvas
Integración y cálculo de áreas
El examen pide calcular primitivas inmediatas, aplicar la regla de Barrow y, sobre todo, determinar el área encerrada entre dos curvas o entre una curva y el eje de abscisas. Es un bloque muy mecánico: la dificultad está en plantear bien los límites de integración y en no perder el valor absoluto.
Reglas y conceptos clave
- Primitivas inmediatas: ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) para n ≠ −1; ∫(1/x) dx = ln|x|; ∫e^x dx = e^x; ∫a^x dx = a^x/ln a; ∫k dx = kx.
- La integral es lineal: se descompone en sumandos y las constantes salen fuera. En una integral definida la constante de integración es irrelevante.
- Regla de Barrow: ∫(de a a b) f(x) dx = F(b) − F(a), donde F es cualquier primitiva de f.
- Área entre f y g: se calculan primero los puntos de corte resolviendo f(x) = g(x); esos valores son los límites a y b. Después, área = ∫(de a a b) |f(x) − g(x)| dx.
- Si las curvas se cruzan dentro del intervalo, la integral de la diferencia cambia de signo: hay que partir el intervalo en los puntos de corte y sumar las integrales definidas de cada trozo.
- Si solo se indica el área encerrada entre dos curvas, hay que localizar todos los cortes, aunque sean más de dos.
Ejemplo resuelto
Área encerrada entre y = x² y y = x + 2. Cortes: x² = x + 2 → x² − x − 2 = 0 → x = −1 y x = 2. En ese intervalo la recta está por encima de la parábola, así que el integrando es (x + 2) − x², que ya es positivo. Una primitiva es x²/2 + 2x − x³/3. En x = 2: 2 + 4 − 8/3 = 10/3. En x = −1: 1/2 − 2 + 1/3 = −7/6. Área = 10/3 − (−7/6) = 20/6 + 7/6 = 27/6 = 9/2 = 4,5 u².
Errores que cuestan puntos
- Dar un área negativa: el resultado de un área siempre es positivo.
- No identificar qué función está por encima en cada tramo.
- No dividir el recálculo cuando las curvas se cruzan dentro del intervalo.
- Errores aritméticos con fracciones al aplicar Barrow, o sustituir los límites en el orden equivocado.