Estadística descriptiva: una y dos variables, correlación y regresión
Estadística descriptiva y regresión
Este bloque evalúa el resumen de una variable (media, varianza, desviación típica, coeficiente de variación) y el estudio conjunto de dos variables a partir de una tabla de frecuencias: covarianza, coeficiente de correlación de Pearson y recta de regresión de Y sobre X, con la interpretación de la calidad del ajuste y de las predicciones.
Reglas y conceptos clave
- Varianza: σ² = (Σ x_i²·n_i)/N − x̄²; desviación típica σ = √σ². Si se trabaja con datos muestrales se divide por n − 1 (cuasivarianza): usa el mismo criterio en todo el problema.
- Coeficiente de variación CV = σ/x̄. Es adimensional y sirve para comparar la dispersión de dos variables con medias o unidades distintas; en porcentaje, se multiplica por 100.
- Covarianza: σ_xy = (Σ x_i·y_j·n_ij)/N − x̄·ȳ. Su signo indica si la relación lineal es creciente (positiva) o decreciente (negativa).
- Coeficiente de correlación de Pearson: r = σ_xy/(σ_x·σ_y), con −1 ≤ r ≤ 1. Mide la fuerza y el sentido de la relación lineal, no de cualquier relación.
- Recta de regresión de Y sobre X: y − ȳ = (σ_xy/σ_x²)·(x − x̄). La pendiente es σ_xy/σ_x². La regresión de X sobre Y tiene pendiente σ_xy/σ_y²; no son la misma recta.
- La fiabilidad de una predicción crece con |r| (r² es la proporción de varianza explicada) y solo es razonable interpolar dentro del rango de datos observado.
Ejemplo resuelto
Datos (1,2), (2,3), (3,5), (4,6), (5,6). Medias: x̄ = 3, ȳ = 22/5 = 4,4. Media de xy: (2 + 6 + 15 + 24 + 30)/5 = 77/5 = 15,4 → σ_xy = 15,4 − 3·4,4 = 2,2. σ_x² = (1 + 4 + 9 + 16 + 25)/5 − 9 = 11 − 9 = 2; σ_x ≈ 1,414. σ_y² = (4 + 9 + 25 + 36 + 36)/5 − 19,36 = 22 − 19,36 = 2,64; σ_y ≈ 1,625. r = 2,2/(1,414·1,625) ≈ 0,957: correlación lineal positiva muy fuerte. Pendiente = 2,2/2 = 1,1 → y − 4,4 = 1,1(x − 3), es decir, y = 1,1x + 1,1.
Errores que cuestan puntos
- Mezclar N con n − 1 en varianzas y covarianzas.
- Usar σ_x² en lugar de σ_y² al escribir la regresión de X sobre Y.
- Predecir fuera del intervalo de datos observados.
- Interpretar r = 0 como independencia total o confundir correlación con causalidad.