Probabilidad: probabilidad condicionada, independencia y teorema de Bayes
Probabilidad condicionada, independencia y Bayes
El examen plantea problemas de probabilidad con sucesos que dependen unos de otros: extracciones sucesivas, diagnósticos con falsos positivos, cadenas de montaje con distintos porcentajes de defectuosos. Se pide calcular probabilidades condicionadas, decidir si dos sucesos son independientes y aplicar probabilidad total y el teorema de Bayes.
Reglas y conceptos clave
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); P(A^c) = 1 − P(A).
- Probabilidad condicionada: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), con P(B) > 0. De ahí, P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B).
- A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A)·P(B), lo que equivale a P(A|B) = P(A) y a P(B|A) = P(B).
- Sucesos incompatibles: P(A ∩ B) = 0. Dos sucesos incompatibles con probabilidad no nula nunca son independientes.
- Probabilidad total: si A₁, A₂, …, A_n forman una partición, P(B) = Σ P(A_i)·P(B|A_i).
- Teorema de Bayes: P(A_i|B) = P(A_i)·P(B|A_i) / P(B), calculando P(B) por probabilidad total.
- Un árbol de probabilidades bien etiquetado traduce el enunciado casi mecánicamente: ramas con las probabilidades condicionadas y producto a lo largo del camino.
Ejemplo resuelto
Dos máquinas fabrican piezas: M₁ produce el 60 % y M₂ el 40 %. El porcentaje de piezas defectuosas es del 2 % en M₁ y del 5 % en M₂. Probabilidad de pieza defectuosa (probabilidad total): P(D) = 0,60·0,02 + 0,40·0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032. Si la pieza elegida es defectuosa, ¿de qué máquina procede más probablemente? Por Bayes: P(M₁|D) = 0,012/0,032 = 0,375, frente a P(M₂|D) = 0,020/0,032 = 0,625. Aunque M₁ fabrica más, la defectuosa elegida es más probable que venga de M₂.
Errores que cuestan puntos
- Confundir P(A|B) con P(B|A), sobre todo en problemas de test diagnósticos.
- Suponer independencia para multiplicar probabilidades cuando los sucesos no lo son.
- Identificar incompatibilidad con independencia.
- En Bayes, olvidar el denominador, que es la probabilidad total del suceso observado.