Variables aleatorias: distribución binomial y distribución normal
Variables aleatorias: binomial y normal
Este bloque evalúa el manejo de variables aleatorias discretas y continuas: cálculo de medias y desviaciones típicas, probabilidades con la binomial y, muy especialmente, el uso de la normal tipificada con la tabla de la distribución N(0, 1). También puede pedirse la aproximación de la binomial por la normal.
Reglas y conceptos clave
- Variable discreta: μ = Σ x_i·p_i; σ² = Σ x_i²·p_i − μ²; σ = √σ².
- Binomial B(n, p): n pruebas independientes, dos resultados posibles, probabilidad p constante. P(X = k) = C(n, k)·p^k·q^(n−k), con q = 1 − p; μ = np; σ = √(npq).
- Normal N(μ, σ): se tipifica con z = (x − μ)/σ y se usa la tabla de Φ(z) = P(Z ≤ z).
- Probabilidades típicas: P(X ≤ a) = Φ(z_a); P(X ≥ a) = 1 − Φ(z_a); P(a ≤ X ≤ b) = Φ(z_b) − Φ(z_a).
- Simetría: Φ(−z) = 1 − Φ(z). La tabla solo da valores positivos, así que los negativos se obtienen con esta relación.
- Aproximación binomial → normal cuando np ≥ 5 y nq ≥ 5, aplicando corrección por continuidad de ±0,5 (P(X ≤ k) ≈ Φ((k + 0,5 − np)/√(npq))).
Ejemplo resuelto
Una variable sigue una distribución normal de media 70 y desviación típica 8. Calcular P(66 ≤ X ≤ 82). Tipificamos los extremos: z₁ = (66 − 70)/8 = −0,5; z₂ = (82 − 70)/8 = 1,5. Entonces P(66 ≤ X ≤ 82) = Φ(1,5) − Φ(−0,5) = Φ(1,5) − [1 − Φ(0,5)] = 0,9332 − (1 − 0,6915) = 0,9332 − 0,3085 = 0,6247. Es decir, aproximadamente el 62,5 % de los valores de la variable se sitúan entre 66 y 82.
Errores que cuestan puntos
- No tipificar y buscar directamente el valor de x en la tabla.
- Confundir la desviación típica σ con la varianza σ².
- Usar la tabla para z negativos sin aplicar la simetría.
- Aplicar la binomial en extracciones sin reemplazamiento o con n grande sin corregir por continuidad.