Desviació de gotes de tinta: quan el dielèctric no ajuda
L'empresa InkJetCat fabrica capçals d'injecció de tinta. Cada gota surt amb una massa d'1,0·10⁻¹¹ kg i una càrrega de −3,0·10⁻¹³ C, i entra horitzontalment a 15 m/s en la regió entre dues plaques paral·leles de 2,0 cm de llargada separades 6,0 mm, amb una diferència de potencial de 800 V mantinguda constant per la font d'alimentació. La gota ha de sortir desviada cap avall, però sense tocar cap placa, i després cau al paper. El cap de producció proposa omplir l'espai entre les plaques amb un dielèctric d'ε_r = 2,5 «per desviar més les gotes», i un altre tècnic vol apujar la tensió a 1 200 V per guanyar marge. El control de qualitat ha detectat que, amb els paràmetres actuals, algunes gotes no arriben al paper i embruten l'interior del capçal. El pes de la gota es pot negligir.
1. Calcula la desviació vertical de la gota en sortir de la regió entre plaques i decideix si realment toca la placa. Quina és la tensió màxima admissible?
Read the worked answer
Camp i força: E = V/d = 800/6,0·10⁻³ = 1,33·10⁵ V/m. F = |q|E = 3,0·10⁻¹³·1,33·10⁵ = 4,0·10⁻⁸ N. El pes val 9,8·10⁻¹¹ N, unes 400 vegades menys: negligir-lo està justificat.
Acceleració i temps: a = F/m = 4,0·10⁻⁸/1,0·10⁻¹¹ = 4,0·10³ m/s²; t = L/v₀ = 0,020/15 = 1,33·10⁻³ s.
Desviació: y = ½at² = ½·4,0·10³·(1,33·10⁻³)² = 3,6·10⁻³ m = 3,6 mm. Com que la meitat de la separació és 3,0 mm, la gota toca la placa abans de sortir: aquest és l'origen de les taques.
Tensió màxima: y és lineal amb V, així que V_max = 800·(3,0/3,6) ≈ 670 V. Cal treballar amb marge, per exemple a 600 V, o augmentar v₀ o la separació entre plaques.
2. Si s'omple l'espai entre les plaques amb el dielèctric d'ε_r = 2,5 mantenint la font connectada, augmentarà la desviació? I si la font s'hagués desconnectat abans?
Read the worked answer
Amb la font connectada: no canvia res. El dielèctric queda entre dues plaques a una diferència de potencial fixada per la font, i el camp val E = V/d, independentment del material (si omple tot l'espai i d no canvia). Per tant F = |q|E i la desviació continuen sent 3,6 mm.
Què sí que canvia: la capacitat es multiplica per ε_r = 2,5, la càrrega emmagatzemada a les plaques també (Q = CV) i l'energia del condensador (½CV²) augmenta. La proposta del cap de producció no resol res i afegeix complexitat tècnica.
Amb la font desconnectada (Q constant): llavors E = Q/(ε₀ε_r A) = E₀/ε_r i la desviació cauria a 3,6/2,5 = 1,4 mm. És a dir, el signe de l'efecte depèn totalment de la condició elèctrica, i per això la pregunta no té una resposta única sense dir si la font segueix connectada.
3. Si es puja la tensió a 1 200 V, la gota surt o xoca dins del camp? Localitza el punt d'impacte.
Read the worked answer
Amb 1 200 V, a = 6,0·10³ m/s². Si les plaques fossin prou llargues, la desviació a la sortida seria y = ½·6,0·10³·(1,33·10⁻³)² = 5,3 mm, superior a 3,0 mm: la gota xoca dins del camp.
Punt d'impacte: el temps per recórrer 3,0 mm des del centre és t = √(2y/a) = √(2·3,0·10⁻³/6,0·10³) = 1,0·10⁻³ s. En aquest temps avança x = v₀t = 15·1,0·10⁻³ = 1,5 cm, menys que els 2,0 cm de llargada de les plaques.
Conclusió: pujar la tensió empitjora el problema i, a més, el marge de seguretat s'ha de buscar baixant V, augmentant la velocitat d'entrada o separant les plaques; no té sentit gastar el marge en la direcció oposada.